Lập phương là một khái niệm mới mà các bạn học sinh chưa được học trong chương trình Toán học bậc tiểu học. Lên lớp 6 các bạn sẽ được làm quen với khái niệm này. Vậy lập phương của một số tự nhiên là gì? Làm thế nào để chúng ta có thể làm được các bài tập về lập phương của một số tự nhiên? Để trả lời những thắc mắc này thì chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu qua bài viết sau đây nhé.
1. Số lập phương là gì?
– Định nghĩa: Lập phương của một số tự nhiên a có nghĩa là nhân 3 lần giá trị của số đó với nhau.
Ta có: a3 = a.a.a
Trong đó: a là cơ số.
a3 đọc là: “a mũ ba” hoặc “lập phương của a”
Hay cũng có thể hiểu là lấy tích của số đó với bình phương của nó.
Ta có: a3 = a. a2
*Chú ý: (-a)3 = – (a3)
Ví dụ:
a) Lập phương của 5 viết và : 53
b) 123 đọc là: “mười hai mũ ba” hoặc “lập phương của 12”
2. Tổng các lập phương của n số tự nhiên đầu tiên
Tổng các lập phương của n số nguyên dương đầu tiên bằng bình phương của tổng n số đó.
Ta có:
Như vậy, tổng các lập phương của n số tự nhiên (khác 0) đầu tiên luôn là một số chính phương.
3. Bảng số lập phương
Dưới đây là bảng số lập phương của 20 số tự nhiên đầu tiên.
a12345678910a31827641252163435127291000a11121314151617181920a31331172821972744337540964913583268598000
4. Các dạng toán cơ bản về số lập phương
4.1. Tìm lập phương của một số
*Phương pháp giải:
Để tìm lập phương của mổ số tự nhiên ta có hai cách sau:
- Dựa vào bảng số lập phương để tìm lập phương của một số tự nhiên
- Dựa vào khái niệm số lập phương để tìm lập phương của một số tự nhiên
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Đọc các số sau: 43; 1203; 463 bằng hai cách.
ĐÁP ÁN
43 đọc là: “bốn mũ ba” hay “lập phương của bốn”;
1203 đọc là: “một trăm hai mươi mũ ba” hay “lập phương của một trăm hai mươi”;
463 đọc là “bốn mươi sáu mũ ba” hay “lập phương của bốn mươi sáu”.
Bài 2: Viết mỗi số sau thành lập phương của một số tự nhiên: 216; 512; 729; 1000; 4096; 6859.
ĐÁP ÁN
Dựa vào bảng lập phương của 20 số tự nhiên đầu tiên, ta có:
216 = 63; 512 = 83; 729 = 93; 1000 = 103; 4096 = 163; 6859 = 193
Bài 3: Lập bảng lập phương của 10 số tự nhiên lẻ đầu tiên.
ĐÁP ÁN
Bảng lập phương của 10 số tự nhiên lẻ đầu tiên là:
a135791113151719a312712534372913312197337549136859
Bài 4: Tính giá trị của các lập phương của một số sau: 53; 43; 63
ĐÁP ÁN
Ta có: 53 = 5.5.5 = 125; 43 = 4.4.4 = 64; 63 = 6.6.6 = 216
Bài 5: Viết gọn các tích sau bằng cách dùng lập phương của một số tự nhiên.
a) 2.2.2
b) 12.12.12
c) 98.98.98
d) 100.100.100
ĐÁP ÁN
a) 2.2.2 = 23
b) 12.12.12 = 123
c) 98.98.98 = 983
d) 100.100.100 = 1003
Bài 6: Tìm các số tự nhiên từ 2000 đến 5000 là lập phương của một số tự nhiên.
ĐÁP ÁN
Dựa vào bảng lập phương, ta có:
2197 là lập phương của 13;
2744 là lập phương của 14;
3375 là lập phương của 15;
4096 là lập phương của 16.
4913 là lập phương của 17.
4.2. Bài toán chứng minh liên quan đến lập phương của một số tự nhiên
*Phương pháp giải:
Áp dụng khái niệm số lập phương và dựa vào yêu cầu bài toán để phân tích đưa bài để đưa ra cách giải thích hợp.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Chứng minh rằng tổng các lập phương của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3.
ĐÁP ÁN
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là x – 1; x; x + 1
Ta có: (x – 1)3 + x3 + (x + 1)3
= (x – 1)(x – 1)(x – 1) + x3 + (x +1)(x + 1)(x +1)
= x3 -1 – 3×2 + 3x + x3 + x3 + 1 + 3×2 + 3x
= 3×3 + 6x
= 3×3 – 3x + 9x
= 3(x – 1).x.(x+1) + 9x
Ta đã biết tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 nên (x – 1).x.(x+1) chia hết cho 3, suy ra 3.(x – 1).x.(x+1) chia hết cho 3.
Mặt khác, vì 9 chia hết cho 3 nên 9x chia hết cho 3.
⇒ 3(x – 1).x.(x+1) + 9x chia hết cho 3
⇒ (x – 1)3 + x3 + (x + 1)3 chia hết cho 3.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 2: Chứng minh rằng không có số tự nhiên có ba chữ số nào mà bình phương của nó bằng lập phương tổng các chữ số của nó.
ĐÁP ÁN
Ta giả sử tồn tại một số tự nhiên có ba chữ số mà bình phương của nó bằng lập phương tổng các chữ số của nó.
Ta gọi số tự nhiên ấy là: ( a, b, c ∈ N, 1 ≤ a ≤ 9; b ≤ 9; c ≤ 9)
Từ đầu bài: ta đặt: = x3 (x ∈ N)
Vì 100 ≤ < 1000 nên 100 ≤ x3 < 1000
Ta có: 43 < x3 < 103
Suy ra: 4 < x < 10
⇒ x ∈ {5; 6; 7; 8; 9}
– Với x = 5, ta có: = 53 = 125
⇒ a = 1; b = 2; c = 5 không thỏa mãn = (a + b + c)3 vì 1252 ≠ (1 + 2 + 5)3
– Với x = 6, ta có: = 63 = 216
⇒ a = 2; b = 1; c = 6 không thỏa mãn = (a + b + c)3 vì 2162 ≠ (2 + 1 + 6)3
– Với x = 7, ta có: = 73 = 343
⇒ a = 3; b = 4; c = 3 không thỏa mãn = (a + b + c)3 vì 3432 ≠ (3 + 4 + 3)3
– Với x = 8, ta có: = 83 = 512
⇒ a = 5; b = 1; c = 2 không thỏa mãn = (a + b + c)3 vì 5122 ≠ (5 + 1 + 2)3
– Với x = 9, ta có: = 93 = 729
⇒ a = 7; b = 2; c = 9 không thỏa mãn = (a + b + c)3 vì 7292 ≠ (7 + 2 + 9)3
Suy ra, không có số tự nhiên có ba chữ số nào thỏa mãn.
Vậy không có số tự nhiên có ba chữ số nào mà bình phương của nó bằng lập phương tổng các chữ số của nó.
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Trên đây là tổng hợp lý thuyết về lập phương của một số tự nhiên và các dạng toán cơ bản cùng với lời giải chi tiết, dễ hiểu. Hy vọng những kiến thức trên sẽ giúp cho các bạn học sinh trau dồi và nâng cao thêm vốn kiến thức của bản thân cũng như vận dụng những kiến thức ấy vào giải các bài tập toán liên quan đến lập phương của số tự nhiên.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
