Cách tìm công thức của số hạng tổng quát cực hay có lời giải
A. Phương pháp giải
• Nếu un có dạng un = a1 + a2 + … + ak + .. + an thì biến đổi ak thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn un .
• Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính u1; u2; … ). Từ đó dự đoán công thức tính un theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu:
un + 1 − un dựa vào đó để tìm công thức tính un theo n.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 4; 8; 12; 16; 20; 24;… Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. un = 4n B. un = 2n+ 2 C. un = 2n+ 5 D. un = 4n+ 2
Hướng dẫn giải:
Ta có:
4 = 4.1 8 = 4.2 12 = 4.3
16 = 4.4 20 = 4.5 24 = 4.6
Suy ra số hạng tổng quát un = 4n.
Chọn A .
Ví dụ 2: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. un = 7n + 7. B. un = 7n .
C. un = 7n + 1. D. un : Không viết được dưới dạng công thức.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
8 = 7 . 1 + 1 15 = 7 . 2 + 1 22 = 7 . 3 + 1
29 = 7 . 4 + 1 36 = 7 . 5 + 1
Suy ra số hạng tổng quát un = 7n + 1.
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Suy ra số hạng tổng quát của dãy số là:
Chọn B.
Ví dụ 4: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: − 1, 3, 19, 53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
A. u10 = 971 B. u10 = 837 C. u10 = 121 D. u10 = 760
Hướng dẫn giải:
Xét dãy (un) có dạng: un = an3 + bn2 + cn + d
Theo giả thiết ta có: u1 = − 1; u2 = 3; u3 = 19 và u4 = 53
=> hệ phương trình:
Giải hệ trên ta tìm được: a = 1;b = 0 ; c = −3 và d = 1.
Khi đó; số hạng tổng quát của dãy số là: un = n3 − 3n+ 1
Số hạng thứ 10: u10 = 971 .
Chọn A .
Ví dụ 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là:0,1; 0,01; 0,001; 0,0001…. Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
Hướng dẫn giải:
Ta thấy:
=> Số hạng thứ n là:
Chọn A.
Ví dụ 6: Cho . Xác định công thức tính un
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Chọn C.
Ví dụ 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: − 2; 0; 2; 4; 6…Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
A. un = −2n . B. un = − 2 + n . C. un = − 2(n+ 1) . D.un = − 2 + 2(n − 1)
Hướng dẫn giải:
Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là (−2) nên
un = − 2 + 2(n − 1) .
chọn D.
Ví dụ 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là?
Hướng dẫn giải:
Ta có;
=> Số hạng thứ n của dãy số là:
Chọn C.
Ví dụ 9: Cho dãy số (un) với .Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Chọn B.
Ví dụ 10: Cho dãy số (un) với . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A. un = 1 + n B. un = n(n + 1) C. un = 1 + (−1)2n. D. un = n
Hướng dẫn giải:
* Ta có: un+1 = un + (−1)2n = un + 1 (vì (−1)2n = ((−1)2)n = 1
=> u2 = 2 ; u3 = 3; u4 = 4; …
Dễ dàng dự đoán được: un= n.
Thật vậy, ta chứng minh được : un = n bằng phương pháp quy nạp như sau:
+ Với n = 1 => u1 = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.
+ Giả sử (*) đúng với mọi n = k ( k ∈ N*), ta có uk = k.
Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là uk+1 = k + 1
+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un ) ta có: uk+1 = uk + 1= k+ 1
Vậy (*) đúng với mọi n.
Chọn D.
Ví dụ 11: Cho dãy số (un) với . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A. un = 2 − n B. không xác định.
C. un = 1 − n. D. un = −n với mọi n.
Hướng dẫn giải:
+ Ta có: u2 = 0; u3 = −1; u4 = −2…
Dễ dàng dự đoán được un = 2 − n.
+ Thật vậy; với n = 1 ta có: u1 = 1 ( đúng)
Giả sử với mọi n = k ( k ∈ N*) thì uk = 2 − k.
Ta chứng minh: uk+1 = 2 − (k+ 1)
Theo giả thiết ta có: uk + 1 = uk + (−1)2k + 1 = 2 − k − 1 = 2 − (k+1)
=> điều phải chứng minh.
Ví dụ 12: Cho dãy số (un) với .Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :
A. un = nn−1. B. un = 2n.
C. un = 2n+1. D. un = 2n − 1
Hướng dẫn giải:
+ Ta có:
Hay un = 2n (vì u1 = 2)
Chọn B.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: −1; 1; −1; 1; −1; 1; …Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
A.un = 1 B. un = − 1 C. un = (−1)n D. un = (−1)n+1
Câu 2: Cho dãy số (un) với . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Câu 3: Cho dãy số (un) với . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A. un = 2 + (n−1)2. B. un = 2 + n2. C.un = 2 + (n+1)2. D. un = 2 − (n−1)2.
Câu 4: Cho dãy số (un) với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
Câu 5: Cho dãy số (un) với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
Câu 6: Cho dãy số (un) với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
Câu 7: Cho . Xác định công thức tính un
Câu 8: Cho dãy số (un) xác định bởi: . Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số.
A. un = 3 + 5n B. un = 3 + 5.(n+1) C. un = 5.(n−1) D. un = 3 + 5.(n−1)
Câu 9: Dãy số (un) được xác định bằng công thức: . Tính số hạng thứ 100 của dãy số
A. 24502861 B. 24502501 C. 27202501 D. 24547501
Câu 10: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1 = 5un. Tính số hạng thứ 20 của dãy số?
A. 3. 510 B. 2.519 C. 2 . 520 D. 3 . 520
Câu 11: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 3 và un+1 = √(1+ un2) với n ∈ N*. Tính số hạng thứ 28 của dãy số ?
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải
- Cách tìm số hạng thứ n của dãy số cực hay có lời giải
- Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải
- Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải
- Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng cực hay có lời giải
- Cách tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ k của cấp số cộng cực hay
Mua hàng giảm giá Shopee Mã code
- XMen For Boss chỉ 60k/chai
- SRM Simple tặng tẩy trang 50k
- Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k
