Công thức truy hồi là tài liệu không thể thiếu đối với các bạn học sinh lớp 11, 12. Công thức truy hồi hướng dẫn phương pháp tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi thông qua một số ví dụ minh họa.
Thông qua tài liệu này các bạn có thêm nhiều tài liệu học tập, củng cố kiến thức nâng cao kỹ năng giải Toán. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm Công thức cấp số cộng, công thức cấp số nhân. Vậy dưới đây là nội dung chi tiết Hướng dẫn tìm công thức truy hồi của dãy số, mời các bạn cùng tải tại đây.
Hướng dẫn tìm công thức truy hồi của dãy số
1. Nội dung chính tài liệu công thức truy hồi
Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên
Dạng 2: Dạng cơ sở: Cho dãy (un) biết u1 = a và un+1 = q.un + d ∀ n ≥ 1 với q, d là các hằng số thực
Gồm 4 trường hợp, dạng này được gọi là dạng cơ sở vì:
+ Với 3 trường hợp 1, 2, và 3 dãy số trở thành các dãy đặc biệt đó là: dãy số hằng, cấp số cộng và cấp số nhân. Các dãy số này ta đều đã tìm được công thức của số hạng tổng quát.
+ Trên cơ sở của 3 dãy này, để giải trường hợp 4: bằng phương pháp đặt một dãy số mới (vn) liên hệ với dãy số (un) bằng một biểu thức nào đó để có thể đưa được về dãy số (vn) mà (vn) dãy số hằng hoặc cấp cộng hoặc cấp số nhân.
+ Vấn đề đặt ra là: Mối liên hệ giữa (un) và (vn) bởi biểu thức nào mới có thể đưa dãy số (vn) thành dãy số hằng hoặc cấp số cộng hoặc cấp số nhân hoặc trường hợp 4.
2. Cách tìm công thức truy hồi
Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên
Ví du 1.1: Cho dãy số có dạng khai triển sau: 1 ;-1 ;-1 ; 1 ; 5 ; 11 ; 19 ; 29 ; 41 ; 55 ; ……..
Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo?
Bài giải
Nhận xét: Với 10 số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó. Với những cách cho này ta thường làm phương pháp sau:
Đặt:
Ta lập bảng các giá trị . . nếu đến hàng nào có giá trị không đổi thì dừng lại, sau đó kết luận là đa thức bậc 1,2,3, ………….và ta đi tìm đa thức đó.
Dạng 2: Dạng cơ sở:
Cho dãy
Với q,d là các hằng số thực.
GIẢI:
– Trường hợp 1: Nếu
-Trường hợp 2: Nếu
là cấp số cộng với số hạng đầu và công sai bằng d
-Trường hợp 3: Nếu
là cấp số nhân với số hạng đầu và công bội bằng q
-Trường hợp 4: Nếu . Đặt dãy
Thay ct(1) vào công thức truy hồi ta có:
là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội bằng q
Ví du 2.1: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy biết:
(Đs: )
Giải:
Vì
là một cấp số cộng với số hạng đầu và công sai d=3
Nhận xét: Dãy số này có dạng 1 với q=1, d=3
Đặt dãy sao cho:
Thay (1) vào công thức truy hồi ta được
là cấp số nhân với số hạng đầu và công bội q=2
Nhân xét: Câu 1:
Còn có các cách sau:
Cách 2:
Ta có:
Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được:
…………..
Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm về Công thức truy hồi
