Độ dốc của một đường cho phép đo độ dốc và hướng của nó. Hệ số góc của đường thẳng giữa hai điểm (x 1 , y 1 ) và (x 2 , y 2 ) có thể dễ dàng xác định bằng cách tìm sự khác biệt giữa tọa độ của các điểm. Độ dốc thường được biểu thị bằng chữ ‘m’.
Công thức độ dốc
Nếu P (x 1 , y 1 ) và Q (x 2 , y 2 ) là hai điểm trên một đường thẳng thì công thức hệ số góc được cho bởi:
Do đó, dựa vào công thức trên, chúng ta có thể dễ dàng tính được hệ số góc của đường thẳng giữa hai điểm.
Nói cách khác, độ dốc của một đường giữa hai điểm cũng được cho là sự tăng lên của đường từ điểm này đến điểm khác (dọc theo trục y) trên đường chạy (dọc theo trục x). Vì thế,
Độ dốc, m = Tăng / Chạy
Độ dốc của phương trình đường thẳng
Phương trình hệ số góc của một đường thẳng và các điểm còn được gọi là hệ số góc điểm, dạng phương trình của một đường thẳng được cho bởi:
Trong khi đó, dạng giao nhau của hệ số góc thì phương trình của đường thẳng được cho bởi:
y = mx + b
Trong đó b là giao điểm y.
Làm thế nào để Tìm độ dốc của một đường trên đồ thị?
Trong hình đã cho, nếu góc nghiêng của đường thẳng đã cho với trục x là θ thì hệ số góc của đường thẳng đó là tan θ. Do đó, có một mối quan hệ giữa các đường và góc . Trong bài này, bạn sẽ học các công thức khác nhau liên quan đến góc và đường.
Hệ số góc của một đường thẳng là m = tan θ. Nếu hai điểm A(x1,Y1) và B (x2,Y2) nằm trên đường với (x1 ≠ x2) thì hệ số góc của đường thẳng AB là:
m = tan θ = Y2 – Y1x2 – x1
Trong đó θ là góc mà đường thẳng AB tạo với chiều dương của trục x. θ nằm trong khoảng từ 0 ° đến 180 °.
Cần lưu ý rằng θ = 90 ° chỉ có thể thực hiện được khi đường thẳng song song với trục y tức là tại x1 = x2, ở góc cụ thể này, độ dốc của đường là không xác định.
Điều kiện để có tính vuông góc, song song và thẳng hàng của các đường thẳng được cho dưới đây:
Độ dốc Đối với các đường song song
Xét hai đường thẳng song song cho bởi l1 và l2với độ nghiêng lần lượt là α và β. Để hai đường thẳng song song thì độ nghiêng của chúng cũng phải bằng nhau tức là α = β. Điều này dẫn đến thực tế là tan α = tan β. Do đó, điều kiện để hai đường thẳng có góc nghiêng α, β song song là tan α = tan β.
Do đó, nếu hệ số góc của hai đường thẳng trên mặt phẳng Descartes bằng nhau thì các đường thẳng đó song song với nhau.
Do đó, nếu hai đường thẳng song song thì, m1 = m2 .
Tổng quát điều này cho n đường thẳng, chúng chỉ song song khi độ dốc của tất cả các đường bằng nhau.
Nếu phương trình của hai đường thẳng đã cho là ax + by + c = 0 và a ‘x + b’ y + c ‘= 0 thì chúng song song với nhau khi ab’ = a’b. (Làm thế nào? Bạn có thể đạt được kết quả này nếu bạn tìm thấy độ dốc của mỗi dòng và cân bằng chúng.)
Độ dốc Đối với các đường vuông góc
Trong hình, chúng ta có hai dòng l1 và l2với độ nghiêng α, β. Nếu chúng vuông góc, chúng ta có thể nói rằng β = α + 90 °. (Sử dụng tính chất của góc)
Độ dốc của chúng có thể được đưa ra là:
m 1 = tan (α + 90 °) vàm2 = t a n α .
⇒m1 = – cot α = – 1t a n α = – 1m2
⇒m1 = -1m2
⇒m1 × m2 = -1
Do đó, để hai đường thẳng vuông góc thì tích của hệ số góc của chúng phải bằng -1.
Nếu phương trình của hai đường thẳng cho trước là ax + by + c = 0 và a ‘x + b’ y + c ‘= 0, thì chúng vuông góc với nhau nếu aa’ + bb ‘= 0. (Một lần nữa, bạn có thể đi đến kết quả này nếu bạn tìm thấy độ dốc của mỗi dòng và cân bằng tích của chúng với -1.)
Độ dốc cho tính cộng tuyến
Để hai đường thẳng AB và BC thẳng hàng thì hệ số góc của cả hai đường thẳng phải bằng nhau và có ít nhất một điểm chung mà chúng phải đi qua. Như vậy, để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì các hệ số góc của AB và BC phải bằng nhau.
Nếu phương trình của hai đường thẳng cho trước là ax + by + c = 0 và a ‘x + b’ y + c ‘= 0, thì chúng thẳng hàng khi ab’ c ‘= a’ b ‘c = a’c ‘b.
Góc giữa hai dòng
Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thì góc giữa chúng có thể được biểu thị theo hệ số góc của chúng và được cho bằng công thức sau:
tan θ = |m2 – m11 + m1 m2| , Ở đâum1 a n d m2 lần lượt là hệ số góc của đoạn thẳng AB và CD.
Nếu m2 – m11 + m1 m2là dương thì góc giữa các đường là góc nhọn. Nếum2 – m11 + m1 m2 là âm thì góc giữa các đường thẳng là góc tù.
Độ dốc của đường thẳng đứng
Các đường thẳng đứng không có độ dốc, vì chúng không có độ dốc. Hay có thể nói, chúng ta không thể định nghĩa được độ dốc của các đường thẳng đứng.
Một đường thẳng đứng sẽ không có giá trị cho tọa độ x. Vì vậy, theo công thức về độ dốc của đường thẳng,
Độ dốc, m = (y 2 – y 1 ) / (x 2 – x 1 )
Nhưng đối với các đường thẳng đứng, x 2 = x 1 = 0
Vì thế,
m = (y 2 – y 1 ) / 0 = không xác định
Theo cách tương tự, hệ số góc của đường nằm ngang bằng 0, vì tọa độ y bằng không.
m = 0 / (x 2 – x 1 ) = 0 [đối với đường ngang]
Độ dốc tích cực và tiêu cực
Nếu giá trị của độ dốc của một đường là dương, nó cho thấy rằng đường đó đi lên khi chúng ta di chuyển dọc theo hoặc sự gia tăng trên đường chạy là dương.
Nếu giá trị của hệ số góc là âm, thì đường thẳng sẽ xuất hiện trong biểu đồ khi chúng ta di chuyển dọc theo trục x.
Các ví dụ đã giải quyết
Q.1 Tìm hệ số góc của đường thẳng giữa các điểm P = (0, -1) và Q = (4,1).
Giải: Cho điểm P = (0, -1) và Q = (4,1).
Theo công thức hệ số góc, chúng ta biết rằng,
Độ dốc của đường thẳng, m = (y 2 – y 1 ) / (x 2 – x 1 )
m = (1 – (- 1)) / (4-0) = 2/4 = ½
Q.2: Tìm hệ số góc của đường thẳng giữa P (-2, 3) và Q (0, -1).
Lời giải: Cho P (-2, 3) và Q (0, -1) là hai điểm.
Do đó, độ dốc của đường thẳng,
m = (-1-3) / 0 – (- 2) = -4/2 = -2
Tìm hiểu thêm về hình học phối hợp với BYJU’S và vượt trội trong mọi lĩnh vực. Tải xuống BYJU’S – Ứng dụng Học tập.
