Cung chứa góc là kiến thức hình học lớp 9, phần lý thuyết nhằm giải các bài toán có các góc ở hình tròn, cung là đường vòng tròn, được chia cắt bởi các đường thẳng nằm trong hình tròn, mỗi cung có tên gọi khác nhau và đề bài tính toán khác nhau. Ta cùng đi vào tìm hiểu lý thuyết cung chứa góc là gì?
Lý thuyết về cung chứa góc
Cung chứa góc là gì?
Định nghĩa: Cung chứa góc còn được gọi là quỹ tích cung chứa góc
- Quỹ tích của cung chứa góc
Hình vẽ minh hoạ
Cho một đoạn thẳng AB và một góc biết trước, góc đó là góc tù, bé hơn 180 độ và lớn hơn 0 độ (0∘ < α < 180∘) (0∘ < α < 180∘), như vậy các điểm M quỹ tích thoả mãn các yếu tố sau: Góc AMB = α, là hai cung có chứa góc trên đoạn thẳng AB.
Một đoạn thẳng có nhiều góc AMB thoả mãn được các điều kiện trên tạo thành một quỹ tích các điểm M. Cung có chứa góc α của đoạn AB sẽ tạo thành các cung tròn, chúng nằm đối xứng nhau qua đoạn thẳng AB.
Lưu ý: Hai cung có chứa góc ở trên hình là hai cung tròn đối xứng với nhau qua đoạn thẳng AB. Vậy 2 điểm A và B và điểm M ở trên dây đường tròn được xem là thuộc quỹ tích.
Quỹ tích cung chứa góc có chứa các điểm M nhìn đoạn thẳng AB dưới 1 góc 90 độ, đoạn thẳng AB chính là đường kính của đường tròn đó.
Hình minh hoạ quỹ tích cung chứa góc
- Cách vẽ cung chứa góc
Để vẽ được cung chứa góc là tập hợp của các điểm M ta cùng thực hiện bài toán sau:
Đề bài: Ta có đoạn thẳng AB và góc α (0∘ < α < 180∘) (0∘ < α < 180∘). Để có tập hợp các điểm M sao cho thoả mãn điều kiện góc AMB = , ta có các bước thực hiện sau:
Bước 1: gọi đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Bước 2: vẽ tia Ax tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại A tạo thành góc α.
Bước 3: Tại A, tiếp tục vẽ một tia Ay hợp với tia Ax tạo thành 1 góc 90 độ, tia Ay tiếp xúc với đường trung trực của đoạn thẳng AB tại 1 điểm ta gọi là O.
Bước 4: ta vẽ cung AmB có tâm là điểm O, bán kính là độ dài của đoạn thẳng OA, cung AmB nằm tại mặt phẳng có bờ là đoạn thẳng AB.
Qua 4 bước trên, ta có cung AmB là cung chứa góc α.
Cách vẽ cung chứa góc
- Các dạng bài tập phổ biến về cung chứa góc:
- Dạng bài tìm tập hợp điểm M để tạo thành cung có chứa góc α
- Chứng minh các điểm đều thuộc một đường tròn
- Dạng bài vẽ (dựng) cung chứa góc
- Cách giải các bài toán cung chứa góc, quỹ tích cung chứa góc
Các yêu cầu của bài tập về quỹ tích cung chứa góc: Chứng minh tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện nào đó, để chứng minh được yêu cầu này, ta cần thực hiện chứng minh 2 phần gồm phần thuận và phần nghịch.
- Phần thuận: Chứng minh tất cả các điểm M có tính chất T thì thuộc hình C
- Phần đảo: chứng minh các điểm thuộc hình C đều có tính chất T.
Những điểm thoả mãn các điều kiện trên sẽ thuộc vào quỹ tích điểm M, có tính chất T và tạo thành hình H.
Chú ý: Hãy dự đoán H là hình gì trước khi làm bài chứng minh hai phần thuận và đảo trên.
Giải bài tập sách giáo khoa toán 9 Cung chứa góc
Bài 1.
Tìm quỹ tích của điểm I khi điểm A thay đổi
Hướng dẫn giải chi tiết:
Hình vẽ của bài
Dự đoán: Quỹ tích I là cung chứa góc được dựng trên đoạn thẳng AB có góc là 135 độ.
Tìm quỹ tích điểm I.
Phần thuận: Chứng minh các điểm I đều thoả mãn điều kiện dựng trên đoạn thẳng BC và có góc = 135 độ.
Bài chứng minh phần thuận
Suy ra ta có I được dựng trên đoạn thẳng BC thuộc cung chứa góc 135 độ.
Phần đảo: Ta thực hiện chứng minh mọi điểm I đều thuộc cung chứa góc 135 độ được dựng trên đoạn thẳng BC, có tam giác ABC thoả mãn các điều kiện.
- Lấy điểm I dựng trên đoạn thẳng BC trên cung chứa góc 135 độ.
- Vẽ tía Bx để cho BI là tia phân giác của góc CBx.
- Vẽ tia Cy để cho đoạn thẳng CI là tia phân giác của góc BCy.
- Hai tia Bx và Cy cắt nhau tại điểm A.
- Khi đó ta nói I là giao điểm của hai đường phân giác Bx và Cy trong tam giác ABC.
Chứng minh phần đảo
Từ kết quả chứng minh 2 phần thuận và đảo trên, ta kết luận tam giác ABC vuông tại A thoả mãn được đề bài. Quỹ tích điểm I được dựng trên đoạn thẳng BC là toàn bộ cung chứa góc 135 độ.
Lưu ý: quỹ tích điểm I dựng trên đoạn thẳng BC khác B và C.
Bài 2
Đề bài 45 trang 86 sách giáo khoa lớp 9 tập 2 – Cung chứa góc
Hướng dẫn bài giải chi tiết:
Hình vẽ của bài 45
Theo đề bài ta có ABCD là hình thoi, nên AC vuông góc với BD tại điểm O.
Vậy trung điểm O của 2 đoạn thẳng AC và BD luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông nên quỹ tích điểm O nằm trên đường tròn có bán kính là đoạn thẳng AB.
Bài 3, dựng cung chứa góc
Đề bài bài 46 trang 86 sách giáo khoa toán 9 tập 2
Hướng dẫn giải chi tiết:
Hình vẽ của bài 46
Theo như đề bài, ta kẻ đoạn thẳng AB dài 3 cm.
Kẻ tia Ax để dựng thành góc BAx bằng 55 độ (đề bài cho)
Kẻ tiếp tia Ay qua điểm A sao cho tia Ay vuông góc với tia Ax
Cho đường thẳng d đi qua điểm trung trực của đoạn thẳng AB
Tia Ay và đường thẳng d cắt nhau tại 1 điểm gọi là O.
Vẽ một đường tròn tâm O, có bán kính là OA, ta có cung lớn AB là cung phải dựng.
Bài 3
Bài 47 trang 86 sách giáo khoa lớp 9 tập 2 – Cung chứa góc
Hướng dẫn giải chi tiết:
Ta tính số đo góc AM1B áp dụng công thức định lý số đo góc có đỉnh ở bên tròn đường tròn và góc AM2B theo công thức của định lý số đo góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.
Hình vẽ minh hoạ bài 47
Câu a, ta có M1 nằm ở bên trong đường tròn
Kẻ đoạn thẳng AA’ và đoạn thẳng BB’ thông qua điểm M lên trên cung tròn AmB.
Vì góc AM1B là 1 góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn, vậy nên:
Ta chứng minh được góc AM1B > 55 độ.
Câu b
Hình vẽ minh hoạ câu b
Ta có M2 nằm ở bên ngoài đường tròn tâm O.
Gọi A’ và B’ lần lượt là giao điểm của hai đoạn thẳng AM2 và BM2 với cung tròn AmB.
Theo mắt nhìn ta thấy góc AM2B là góc có đỉnh nằm ở bên ngoài đường tròn, vậy nên ta có:
Ta chứng minh được góc AM2B < 55 độ.
Kết luận: Trên đây là toàn bộ lý thuyết về cung chứa góc và các phần giải của bài tập về cung chứa góc lớp 9. Cung chứa góc là một phần lý thuyết hình học quan trọng, với những kiến thức mà chúng tôi đưa ra ở trên mong rằng sẽ giúp ích được cho các bạn học sinh ôn luyện, làm tốt các bài toán và chuẩn bị cho kỳ thi chuyển cấp.
