Hình chóp nói chung và hình chóp tứ giác đều nói riêng là phần kiến thức hình học trong chương trình toán lớp 8, học kì 2. Dưới đây là tổng kết về định nghĩa hình chóp là gì, tính chất, công thức tính chu vi, diện tích, thể tích các hình chóp thế nào?. Bên cạnh đó, chúng tôi có bổ sung thêm kiến thức về các hình chóp ít được nhắc đến trong sách giáo khoa.
Hình chóp là gì?
Định nghĩa”
- Hình chóp là hình học không gian có mặt đáy là đa giác lồi và các mặt bên đều là tam giác có chung một đỉnh, đỉnh này gọi là đỉnh của hình chóp
- Hình chóp có nhiều loại khác nhau, tên của nó được quy định dựa theo đáy.
- Hình chóp tam giác có đáy là hình tam giác, hình chóp tứ giác có đáy là hình tứ giác.
- Trong các trường hợp đặc biệt như đáy là tam giác đều, tứ giác đều thì ta gọi đó là hình chóp đều
Tính chất của hình chóp:
- Đường thẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy được gọi là đường cao của hình chóp.
- Tên gọi của hình chóp dựa vào đa giác mặt đáy: hình chóp có đáy là tam giác được gọi là hình chóp tam giác, hình chóp có đáy là tứ giác gọi là hình chóp tứ giác.
- Nếu hình chóp có cạnh bên hợp với mặt đáy các góc bằng nhau hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
- Nếu hình chóp có các mặt bên hợp với mặt đáy các góc bằng nhau hoặc có các đường cao của các mặt bên xuất phát từ 1 đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy.
- Nếu hình chóp có mặt bên hoặc mặt chéo vuông góc với mặt phẳng đáy thì đường cao của hình chóp sẽ là đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.
Các loại hình chóp thường gặp
Hình chóp tam giác đều là gì?
*Định nghĩa:
Hình chóp tam giác đều là hình chóp có đáy là tam giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh
*Tính chất
- Hình chóp tam giác đều có 3 mặt phẳng đối xứng
- Hình chóp có đáy là tam giác đều
- Các cạnh bên bằng nhau
- Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
- Chân đường cao trùng với tâm của mặt đáy (tâm đáy là trọng tâm của tam giác)
- Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau
- Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau
***Lưu ý:
Tâm của tam giác đều là giao điểm của 3 đường trung tuyến và cũng là đường cao, trung trực và phân giác trong.
Hình chóp tứ giác đều là gì?
*Định nghĩa:
Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy là hình vuông, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh
*Tính chất
- Hình chóp có đáy là hình vuông
- Các cạnh bên bằng nhau
- Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
- Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy (tâm đáy là giao điểm của 2 đường chéo)
- Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng nhau
- Hình chóp tứ giác có 8 cạnh
Hình chóp cụt đều là gì?
*Định nghĩa:
Hình chóp cụt đều là hình chóp đều bị cắt bởi mặt phẳng song song với đáy. Phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng đó và mặt phẳng đáy của hình chóp gọi là hình chóp cụt đều
*Tính chất:
- Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân
Công thức tính chu vi, diện tích, thể tích hình chóp
Công thức tính chu vi hình chóp (Áp dụng cho hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác)
Chu vi hình chóp bằng tổng chu vi mặt đáy và các mặt bên
Công thức:
P = Pđáy + Pcác mặt bên
Trong đó
Pđáy là chu vi mặt đáy
Pcác mặt bên là chu vi các mặt bên
Công thức tính diện tích hình chóp đều (Áp dụng cho hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác)
Diện tích hình chóp gồm diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.
Diện tích xung quanh
Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn
Công thức
Sxq = p.d
Trong đó:
- p là nửa chu vi đáy
- d là trung đoạn của hình chóp. Trung đoạn là đường cao xuất phát từ đỉnh xuống trung điểm của 1 cạnh.
Diện tích toàn phần của hình chóp:
Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy
Stp = Sxq + Sđáy
Như vậy, muốn tính được diện tích xung quanh và toàn phần của hình chóp bạn cần phải tính được độ dài trung đoạn và chu vi, diện tích đáy.
Thể tích hình chóp (Áp dụng cho hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác)
Công thức
V=1/3S.h
Trong đó:
- S là diện tích đáy,
- h là chiều cao
Thể tích hình chóp cụt 4 cạnh
Công thức:
Trong đó:
- B’ và B lần lượt là diện tích của đáy nhỏ và đáy lớn của hình chóp cụt đều.
- h là chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt đáy).
Phân biệt các hình chóp
Đáy Mặt bên Số cạnh đáy Số cạnh Số mặt Hình chóp tam giác đều Tam giác đều Tam giác đều 3 6 4 Hình chóp tứ giác đều Hình vuông Tam giác cân 4 8 5 Hình chóp ngũ giác đều Ngũ giác đều Tam giác cân 5 10 6 Hình chóp lục giác đều Lục giác đều Tam giác cân 6 12 7
Dạng bài tập về hình chóp
Xác định mối quan hệ giữa các yếu tố cạnh và mặt phẳng trong hình chóp đều, hình chóp cụt đều.
- Sử dụng mối quan hệ song song và vuông góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng.
- Sử dụng các kiến thức về hình chóp đều
Bài tập ví dụ:
Bài 1: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, SA = a. Lấy điểm H là hình chiếu của A trên cạnh SB. Khoảng cách giữa AH và BC bằng?
Đáp án:
Ta có BC⊥AB VÀ BC⊥SA→BC⊥(SAB)→BC⊥HB
Mà AH⊥HB→HB là đoạn vuông góc chung của AH và BC→d(AH,BC)=HB
Tam giác SAB vuông cân tại A có SA=SB=a, AH⊥SC
→
Bài 2: Cho hình chóp S ABCD là chóp tứ giác đều có các mặt bên là những tam giác đều, AB=8m, O là trung điểm của AC. Hình chóp S ABCD có mấy cạnh? Độ dài SO là bao nhiêu?
Đáp án:
Hình chóp S ABCD là hình chóp tứ giác nên có 8 cạnh
Hình chóp S ABCD đều nên đáy ABCD là hình vuông ΔOAB vuông cân tại O
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ΔOAB có
AB2 = OB2+ OB2→ AB2 = 2OA2
Hình chóp có các mặt bên là tam giác đều nên ΔSAB là tam giác đều. Do đó, SA = AB = 8m
Ta có SO⊥OA nên SOA vuông tại O
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông SOA ta có:
SB2 = OS2+ OA2
Mong rằng thông qua bài tổng hợp kiến thức về hình chóp trên đây, các bạn đã hiểu và ghi nhớ được các công thức tính chu vi, diện tích, thể tích hình chóp và phân biệt được các loại hình chóp với nhau. Chúc các bạn có những giờ học hăng say và bổ ích.
