Chúng ta đã được tìm hiểu về khái niệm phương trình tương đương trong chuyên đề trước. Vậy thế nào là phương trình hệ quả? Nó có đặc điểm gì khác so với phương trình tương đương? Bài viết sau sẽ trình bày định nghĩa phương trình hệ quả cùng với các ví dụ cụ thể kèm lời giải chi tiết & tổng hợp một số bài tập đưa về phương trình hệ quả. Các bạn hãy cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu phần kiến thức về phương trình hệ quả qua bài viết này nhé.
1. Phương trình hệ quả là gì?
Định nghĩa phương trình hệ quả: Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x) thì phương trình f1(x) = g1(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x).
Khi đó, ta viết
f(x) = g(x) f1(x) = g1(x).
Chẳng hạn, với một số nguyên dương n bất kỳ ta có f(x) = g(x) [f(x)]n = [g(x)]n.
Chú ý:
1) Phương trình hệ quả có thể có thêm một số nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Khi đó, ta gọi chúng là nghiệm ngoại lai.
2) Khi ta giải một phương trình nào đó, không phải lúc nào ta cũng có thể sử dụng được các phép biến đổi tương đương. Trong một số trường hợp ta phải thực hiện các phép biến đổi khác để đưa tới phương trình hệ quả, ví dụ như bình phương hai vế, nhân hai vế của phương trình với một đa thức nào đó. Khi đó, để loại những nghiệm ngoại lai đó, ta phải thử lại các nghiệm vừa tìm được vào phương trình ban đầu.
3) Khi không có nghiệm nào của phương trình hệ quả thỏa mãn điều kiện của phương trình ban đầu thì phương trình ban đầu vô nghiệm.
2. Một số ví dụ phương trình hệ quả
Ví dụ 1: Hãy giải phương trình sau: .
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình đã cho là: x ≠ 0 và x ≠ – 2.
Ta thực hiện nhân hai vế của phương trình đã cho với x(x + 2), ta thu được phương trình hệ quả
2(x + 2) + x – 4 = x(x + 1)
2x + 4 + x – 4 = x2 + x
x2 – 2x = 0
x(x – 2) = 0
Nhận thấy x = 0 không thỏa mãn điều kiện x ≠ 0 và x ≠ – 2 của phương trình ban đầu, khi đó nó là nghiệm ngoại lai nên bị loại, còn nghiệm x = 2 thỏa mãn điều kiện x ≠ 0 và x ≠ – 2 của phương trình và là một nghiệm của phương trình ban đầu.
Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là x = 2.
Ví dụ 2: Hãy giải phương trình sau: .
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình đã cho là: x > 3.
Ta thực hiện nhân hai vế của phương trình đã cho với , ta thu được phương trình hệ quả
x2 = 16
Nhận thấy x = – 4 không thỏa mãn điều kiện x > 3 của phương trình ban đầu, khi đó nó là nghiệm ngoại lai nên bị loại, còn nghiệm x = 4 thỏa mãn điều kiện x > 3 của phương trình và là một nghiệm của phương trình ban đầu.
Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là x = 4.
3. Bài tập phương trình hệ quả
Bài 1. Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
- Phương trình hệ quả của phương trình ban đầu có thể có thêm nghiệm ngoại lai.
- Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
- Các phép biến đổi làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ban đầu ta thu được phương trình tương đương.
- Để loại nghiệm ngoại lai ta phải thử lại chúng vào phương trình ban đầu.
ĐÁP ÁN
Các phép biến đổi làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ban đầu ta thu được phương trình hệ quả.
Chọn đáp án C.
Bài 2. Cho hai phương trình 7x = 3 và 5x = 9. Hãy cộng hai vế tương ứng của hai phương trình này và cho biết phương trình vừa tìm được có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình ban đầu hay không?
ĐÁP ÁN
Cộng hai vế tương ứng của hai phương trình đã cho ta được phương trình 12x = 12.
Khi đó x = 1 là nghiệm của phương trình vừa tìm được.
Ta có
+ Nghiệm của phương trình 7x = 3 là: x = .
+ Nghiệm của phương trình 5x = 9 là: x = .
Nhận thấy nghiệm của hai phương trình 7x = 3 và 5x = 9 không là nghiệm của phương trình 12x = 12, do đó phương trình 12x = 12 không phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình ban đầu.
Bài 3. Tìm nghiệm của phương trình sau đây: .
- x = 5
- x = 1
- x = 1; x = 5
- Phương trình vô nghiệm
ĐÁP ÁN
Điều kiện xác định của phương trình đã cho là: x ≠ 5.
Ta thực hiện nhân hai vế của phương trình đã cho với (x – 5), ta thu được phương trình hệ quả
7 + x(x – 5) = x + 2
x2 – 6x + 5 = 0
Nhận thấy x = 5 không thỏa mãn điều kiện x ≠ 5 của phương trình ban đầu, khi đó nó là nghiệm ngoại lai nên bị loại, còn nghiệm x = 1 thỏa mãn điều kiện x ≠ 5 của phương trình và là một nghiệm của phương trình ban đầu.
Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là x = 1.
Chọn đáp án B.
Bài 4. Giải phương trình sau đây: .
ĐÁP ÁN
Điều kiện xác định của phương trình đã cho là: x ≥ – 2.
Ta thực hiện trừ hai vế của phương trình đã cho với , ta thu được phương trình hệ quả
7x = 14
x = 2.
Nhận thấy x = 2 thỏa mãn điều kiện x ≥ – 2 của phương trình và là một nghiệm của phương trình ban đầu.
Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là x = 2.
Bài 5. Giải phương trình sau đây: .
ĐÁP ÁN
Điều kiện xác định của phương trình đã cho là: x ≥ 2.
Ta thực hiện nhân hai vế của phương trình đã cho với , ta thu được phương trình hệ quả
5x – 1 = 3x – 3
2x = – 2
x = – 1.
Nhận thấy x = – 1 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 2 của phương trình ban đầu, khi đó nó là nghiệm ngoại lai nên bị loại.
Vậy phương trình ban đầu vô nghiệm.
Hy vọng qua chuyên đề về phương trình hệ quả, các bạn sẽ hiểu rõ hơn về kiến thức của chuyên đề này và áp dụng thành thạo chúng để giải quyết tốt các bài tập được giao.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
