Trong chương trình toán THCS lớp 6 chúng ta đã được học về rất nhiều số thực, được kí hiệu là R. Vậy số thực R là gì? Tính chất, đặc điểm của số thực? Trong bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ cung cấp một số kiến thức và khái niệm cơ bản để các bạn tham khảo.
1. R là tập hợp số gì?
R là kí hiệu của tập hợp các số thực, đó là tập hợp chứa cả số hữu tỉ và số vô tỉ, R là tập hợp lớn nhất của số trong tập hợp số tự nhiên N = {0, 1, 2,..} và số nguyên Z = {..-3, -2, -1, 0, 1, 2,…}.. tất cả số này là các tập con không chính quy của R. Và cả các số vô tỷ như số pi = 3.13.144592 hoặc = 1.414214…Tất cả các số chúng ta biết đều thuộc R.
Nói một cách đơn giản, R là tập hợp gồm số dương (ví dụ 1, 2, 3), số 0, số âm (-1, 2, -3), số hữu tỉ và số vô tỉ. Nói cách khác, số thực có liên quan có thể được coi là các điểm trên một dãy số dài vô hạn. Tóm lại, số thực là tập hợp gồm số hữu tỉ và vô tỉ.
Các số thực có ký hiệu là R (R = Q U I) trong đó:
– N là tập trung các số tự nhiên
– Z là tập trung các số nguyên
– Q là tập trung các số hữu tỉ
– I = RQ tập trung các số vô tỉ
Mỗi số thực trên trục số được biểu thị bằng một điểm. Ngược lại, mỗi điểm trên trục số biểu thị một số thực. Chỉ tập trung số thực mới có thể lấp đầy hàng số này.
Tập hợp số thực được ghi dưới dạng: R = ( -∞; +∞)
Ví dụ về số thực trong toán học:
Để hiểu rõ hơn về khái niệm R là tập hợp số gì? nội dung sau sẽ đưa ra ví dụ cụ thể hơn.
Tập hợp R là ký hiệu của tập hợp số thực, gồm số hữu tỉ và số vô tỉ:
Chẳng hạn như số nguyên là: −5, 2, 3, -8…
Phân Số là: 4/3, 8/5,..
Số Vô Tỷ như: √ 2 (1.41421356…); 3,1456;…
Có nhiều người thắc mắc số 0 có phải là số nguyên không? Câu trả lời là có, vì số nguyên là tập hợp gồm các số không (0), các số tự nhiên dương và nghịch đảo của chúng hay còn gọi là số tự nhiên âm. Tập hợp các số nguyên là vô hạn nhưng đếm được và ký hiệu là Z.
2. R là gì trong toán học?
Trong toán học, số thực là giá trị của một đại lượng liên tục có thể biểu thị khoảng cách dọc theo một đường thẳng (hoặc cách khác là một đại lượng có thể được biểu diễn dưới dạng khai triển thập phân vô hạn). Tính từ “thực” được giới thiệu trong ngữ cảnh này vào thế kỷ 17 bởi René Descartes với mục đích phân biệt giữa nghiệm thực và nghiệm của một đa thức. Số thực bao gồm tất cả các số hữu tỷ, chẳng hạn như số nguyên −5 và phân số /3, cũng như tất cả các số vô tỷ, chẳng hạn như căn bậc hai của 2, số pi.
R là các số thực trong toán học và có các thuộc tính sau:
Biểu thị các số thực bao gồm một trường thực hiện phép cộng, phép nhân và phép chia cho các số khác 0. Chúng có thể được sắp xếp trên một trục số ngang theo cách tương thích với phép cộng và phép nhân.
Điều này chứng tỏ rằng nếu tập hợp các số thực khác rỗng có cận trên thì nó cũng có cận trên đối với các số thực nhỏ nhất.
3. R là gì trong hình học?
R cũng được sử dụng trong công thức tính chu vi hình tròn. Nó không chỉ là một ký hiệu trong đại số, R còn được sử dụng trong hình học, R đôi khi được dùng để mô tả bán kính của một đường tròn nội tiếp trong một tam giác. Đặc biệt, R còn được sử dụng trong công thức tính chu vi diện tích hình tròn:
Chu vi: C = dπ = 2r.π
Diện tích: S= πR²
4. Cách tiếp cận số thực R dưới dạng tiên đề:
Tập hợp R là tập hợp các số thực thỏa mãn điều kiện sau:
Thứ nhất, Tập hợp R là trường, tức là phép cộng và phép nhân được xác định và có tính chất thông thường.
Thứ hai, Trường R được sắp xếp, tức là tổng theo thứ tự của nó ≥ sao cho mọi số thực x, y và z:
– Nếu x ≥ y thì x + z ≥ y + z;
– Nếu x ≥ 0 và y ≥ 0 thì xy ≥ 0.
Thứ ba, Thứ tự là hoàn tất (đầy đủ, hoàn thành), có nghĩa là mọi tập con S không rỗng của R với giới hạn trên trong R có giới hạn trên nhỏ nhất (hay còn gọi là supremum) nằm trong R.
Ngoài việc đo khoảng cách, các số thực có thể được sử dụng để đo các đại lượng như thời gian, khối lượng, năng lượng, tốc độ và nhiều đại lượng khác.
5. Đặc điểm của tập hợp số R và trục số thực R:
‐ Mọi số thực (trừ 0) đều có số dương và số đối của nó (số âm). Ví dụ: nếu chúng ta có số dương 1, số đối của nó là -1 (số âm).
‐ Tổng (kết quả của phép hợp) hoặc tích (phép tính nhân ) của hai số thực không âm luôn là một số thực không âm.
‐ Đây được coi là tính chất cơ bản và dễ nhận biết nhất của tập hợp số thực. Một số thực được coi là một tập hợp vô hạn của các số, số lượng của nó lớn vô hạn và không thể đếm được.
‐ Hệ thống số Tập con vô hạn của số thực
‐ Các đại lượng liên tục có thể được biểu diễn dưới dạng số thực.
‐ Số thực có thể biểu diễn dưới dạng số thập phân (phân số).
‐ Một số thực có thể coi là các điểm trên một đường thẳng dài vô hạn gọi là trục số, trong đó các điểm tương ứng với các số nguyên cách đều nhau. Bất kỳ số thực nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng thập phân vô hạn, chẳng hạn như số 8,632, trong đó mỗi số tiếp theo được tính bằng một phần mười giá trị của số trước đó. Trục số thực có thể coi là một phần của mặt phẳng phức.
R là ký hiệu của số thực trong toán học và chúng có các thuộc tính như sau:
‐ Số thực R chứng tỏ rằng nếu tập hợp các số thực khác rỗng có cận trên thì giới hạn trên của nó là các số thực nhỏ nhất.
‐ Tập hợp R cũng có thể định nghĩa các phép toán như cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa. Các phép toán trên số thực có tính chất tương tự như các phép toán trên số hữu tỉ.
6. Một số bài tập minh họa:
Dạng 1: Các câu hỏi về bài tập hợp số
Ta có mối quan hệ sau giữa các tập hợp số: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; I R. Với: N là tập hợp các số tự nhiên, Z là tập hợp các số nguyên, Q là tập hợp các số hữu tỉ, Z là tập hợp các số vô tỉ, R là tập hợp các số thực.
Dạng 2: tìm số chưa biết trong một đẳng thức:
Phương pháp sử dụng:
‐ Sử dụng tính chất của phép toán để tính.
‐ Sử dụng quan hệ giữa tổng và hiệu trong tính toán. Điều tương tự cũng áp dụng cho phép nhân và phép chia.
‐ Sử dụng dấu ngoặc đơn và quy tắc chuyển đổi.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đã cho
Phương pháp sử dụng: Tổ hợp các phép nhân, chia, cộng, trừ, lũy thừa. Nhớ luôn rút gọn phân số.
Câu 1: Số -4 thuộc tập hợp số nào?
A. N
B. Q
C. I
D. R
Đáp án : Chọn đáp án D. R
Câu 2: Tập hợp số nào dưới đây không có căn bậc hai?
A. N
B. Z
C . I
D. R
Đáp án: Chọn hai đáp án A. N và B. Z.
Câu 3: Sắp xếp các số thực sau theo thứ tự tăng dần: 0,466 ; 7/15 ; 0,4636363…; 0,463736 ; 0,4656365…
Đáp án: 0,463763… < 0,463736 < 0,4656365… < 0,466 < 7/15
Câu 4: Hãy tìm các tập hợp:
a) Q ∩ I ; b) R ∩ I.
Đáp án:
a) Q ∩ I = Ø ; b) R ∩ I = I
Câu 5: Tìm x, biết: 3,5.x + (-1,5).x +2,4 = -4,7 ;
Hướng dẫn giải:
3,5.x + (-1,5).x +2,4 = -4,7
[3,5 + (-1,5)].x + 2,4 = -4,72.x = -4,7
x = -2,35
Câu 6: Điền dấu ∈, ∉, ⊂ thích hợp vào chỗ trống (…):
a) 3 …. Q ; 3 …. R ; 3… I ; -2,53… Q ;
b) 0,2(35) …. I ; N …. Z ; I …. R.
Đáp án:
a) 3 ∈ Q ; 3 ∈ R ; 3 ∉ I ; -2,53∈ Q ;
b) 0,2(35) ∉ I ; N ∈ Z ; I ⊂
Câu 7: Điền chữ số thích hợp vào (…) :
a) – 3,02 < – 3, … 1
b) – 7,5 … 8 > – 7,513 ;
c) – 0,4 … 854 < – 0,49826
d) -1, … 0765 < – 1,892.
Đáp án:
a) – 3,02 < – 301
b) – 7,508 > – 7,513 ;
c) – 0,49854 < – 0,49826
d) -1,90765 < – 1,892.
7. Ứng dụng số thực trong cuộc sống:
7.1. Vật lý:
Trong khoa học vật lý, hầu hết các hằng số vật lý, chẳng hạn như hằng số hấp dẫn phổ quát và các biến vật lý như vị trí, khối lượng, vận tốc và điện tích, được mô hình hóa bằng cách sử dụng các con số. Trên thực tế, các lý thuyết vật lý cơ bản như cơ học cổ điển, điện từ, cơ học lượng tử điển hình là đa tạp trơn hoặc không gian Hilbert, dựa trên các số thực, mặc dù các phép đo thực tế của các đại lượng vật lý có độ chính xác hữu hạn.
Các nhà vật lý đôi khi đề xuất rằng một lý thuyết cơ bản hơn thay thế các số thực bằng các đại lượng không tạo thành một chuỗi liên tục, nhưng những đề xuất như vậy vẫn chỉ là suy đoán.
7.2. Toán học:
Với một số ngoại lệ, hầu hết các máy tính không hoạt động trên số thực. Thay vào đó, chúng hoạt động với các phép xấp xỉ chính xác hữu hạn được gọi là số dấu phẩy động. Trên thực tế, hầu hết các tính toán khoa học đều sử dụng số học dấu phẩy động. Các số thực tuân theo các quy tắc số học bình thường, nhưng các số dấu phẩy động thì không.
Máy tính không thể lưu trữ trực tiếp các số thực tùy ý với vô số chữ số. Độ chính xác có thể đạt được bị giới hạn bởi số bit được phân bổ để lưu trữ số, cho dù đó là số dấu phẩy động hay số chính xác tùy ý. Tuy nhiên, các hệ thống đại số máy tính có thể hoạt động chính xác với các đại lượng vô tỷ bằng cách thao tác các công thức thay vì các xấp xỉ hữu tỷ hoặc thập phân của chúng. Nói chung, không thể xác định xem hai biểu thức như vậy có bằng nhau hay không (bài toán hằng số).
Một số thực được coi là có thể tính toán được nếu có một thuật toán in ra các chữ số của nó. Vì chỉ có nhiều thuật toán là đếm được, còn số thực thì không đếm được, nên hầu như tất cả các số thực đều không đếm được. Hơn nữa, sự bằng nhau của hai số tính toán được là một bài toán khó giải. Một số nhà toán học theo thuyết kiến tạo chấp nhận sự tồn tại của các số thực chỉ đếm được. Phạm vi của các số có thể xác định rộng hơn, nhưng vẫn chỉ có thể đếm được.
