Ước số chung là một khái niệm hoàn toàn mới trong chương trình Toán lớp 6. Vậy ước chung là gì? Ước chung lớn nhất là gì? Và làm thế nào để tìm ước chung và ước chung lớn nhất,… Chúng ta cùng nhau tìm hiểu thông qua bài viết này nhé!
1. Ước chung là gì?
1.1. Khái niệm ước chung
Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC.
Kí hiệu của ước chung: ƯC(a,b) là tập hợp các ước chung của a và b.
Chú ý: Ta chỉ xét ước chung của các số khác 0.
1.2. Ví dụ về ước số chung
Ví dụ 1.Viết tập hợp các ước chung của 6 và 8.
Ta có:
Ư(6) = {1; 2; 3; 6},
Ư(8) = {1; 2; 4; 8}.
Các số 1; 2 đều là ước của hai số 6 và 8 nên ƯC(6,8) = {1; 2}.
Như vậy, ta có:
nếu và
Ví dụ 2. Viết tập hợp các ước chung của 8; 12 và 16.
Ta có:
Ư(8) = {1; 2; 4; 8}
Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12},
Ư(16) = {1; 2; 4; 8; 16}.
Các số 1; 2; 4 đều là ước của ba số 8; 12 và 16 nên ƯC(8, 12, 16) = {1; 2; 4}.
Tương tự, ta có:
nếu và
» Xem thêm: Ước số là gì? Cách tìm ước số cực đơn giản, dễ hiểu
2. Ước chung lớn nhất (ƯCLN)
2.1. Khái niệm
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
Quy ước: Viết tắt ước chung lớn nhất là ƯCLN.
Kí hiệu của ước chung lớn nhất: ƯCLN(a,b) là ước chung lớn nhất của a và b.
2.2. Cách tìm ước ƯCLN
Để tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số, ta có thể thực hiện theo hai cách sau:
Cách 1. Liệt kê các ước chung của các số rồi chọn ra số lớn nhất, số đó là ước chung lớn nhất phải tìm.
*Phương pháp giải:
- Bước 1: Tìm tập hợp ước của hai hay nhiều số đã cho.
- Bước 2: Tìm tập hợp ước chung của hai hay nhiều số đó.
- Bước 3: Chọn ra số lớn nhất trong tập hợp ước chung vừa tìm được. Số đó là ước chung lớn nhất phải tìm.
Ví dụ 3. Tìm ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên 18 và 30.
Ta có:
Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
ƯC(18; 30) = {1; 2; 3; 6}
Vậy ƯCLN(18; 30) = 6.
Cách 2. Tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
*Phương pháp giải:
- Bước 1. Phân tích các số ra thừa số nguyên tố
- Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung
- Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất
- Bước 4. Lập tích các lũy thừa đã chọn, tích đó là ước chung lớn nhất cần tìm
Ví dụ 4.Tìm ƯCLN (18; 24).
– Bước 1. Phân tích hai số 18 và 24 ra thừa số nguyên tố.
Ta có:
– Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung của 18 và 24 là 2 và 3.
– Bước 3. Với hai thừa số đã chọn là 2 và 3, ta lấy với số mũ nhỏ nhất.
- Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1.
- Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1.
Vậy ƯCLN(18, 24) = 2.3 = 6.
Ví dụ 5. Tìm ƯCLN(56; 140; 252).
Cách giải:
Ta có:
Vậy ƯCLN(56; 140; 252) = 22 . 7 = 28..
Chú ý. Khi tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số ta cần lưu ý một số điều sau:
- Với mọi số tự nhiên a và b ta có:
ƯCLN(1, a) = 1
ƯCLN(1, a, b) = 1
Ví dụ: ƯCLN(1, 40, 120) = 1
- Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1 và những số đó được gọi là số nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ: ƯCLN(4, 9) = 1 (vì hai số 4 và 9 không có thừa số nguyên tố chung).
Khi đó, hai số 4 và 9 được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.
- Nếu thì ƯCLN(a,b) = b.
Ví dụ: ƯCLN(48,16) = 16 (vì ).
- Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ước chung lớn nhất của các số đã cho chính là số nhỏ nhất đó.
Ví dụ: ƯCLN(5; 15; 20) = 5 (Vì 5 là số nhỏ nhất trong các số đó và ).
» Xem chi tiết tại: Ước chung lớn nhất là gì? Cách tìm và bài tập vận dụng
4. Cách tìm ước chung thông qua ƯCLN
Ước chung của hai hay nhiều số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.
*Phương pháp giải:
- Bước 1.Tìm ƯCLN của các số đó.
- Bước 2. Tìm các ước của ƯCLN đó.
Ví dụ 6. Tìm ƯCLN(28, 72), từ đó tìm ƯC(28, 72).
Ta có:
Khi đó ƯCLN(28, 72) =
Vậy ƯC(28, 72) = Ư(4) = {1; 2; 4}.
5. Bài tập luyện tập liên quan đến ước số chung
Bài 1.
a) Số 15 có là ước chung của 45 và 75 không? Vì sao?
b) Số 26 có là ước chung của 52 và 102 không? Vì sao?
ĐÁP ÁN
a) 15 là ước chung của 45 và 75 vì 45 và 75 cùng chia hết cho 15.
b) 26 không là ước chung của 52 và 102 vì 52 chia hết cho 26 nhưng 102 không chia hết cho 26.
Bài 2. Tìm:
a) ƯC(8, 12, 36)
b) ƯCLN(36, 54, 81)
c) ƯC(4; 16; 24; 64)
ĐÁP ÁN
a) Ta có:
Ư(8) = {1; 2; 4; 8}
Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Ư(36) = {1; 2; 4; 6; 9; 18; 36}
Vậy ƯC(8, 12, 36) = {1; 2; 4}.
b) Ta có:
Vậy ƯCLN(36, 54, 81) = 32 = 9.
c) Trong các số đã cho ta thấy 4 là số nhỏ nhất và
Nên ƯCLN (4, 16; 24; 64) = 4
Vậy ƯC(4; 16; 24; 64)= Ư(4) = {1; 2; 4}.
Bài 3. Tìm số tự nhiên x, biết và 15 < x < 30.
ĐÁP ÁN
Vì nên ƯC(120, 280).
Ta có:
120 = 23 . 3 . 5
280 = 23 . 5 . 7
ƯCLN(120, 280) = 23.5 = 40
Suy ra ƯC(120, 280) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}
Mà 15 < x < 30 nên x = 20.
Bài 4. Một đội tình nguyện gồm 42 nữ và 54 nam đi tham gia tình nguyện ở các ở địa phương. Hỏi có thể chia thành nhiều nhất bao nhiêu tổ, biết rằng số nam và số nữ được chia đều vào mỗi tổ?
ĐÁP ÁN
Số đội nhiều nhất chia được là ước chung lớn nhất của 42 và 54.
Ta có:
42 = 2 . 3 . 7
54 = 2 . 32
Suy ra ƯCLN(42, 52) = 2 . 3 = 6
Vậy đội tình nguyện đó có thể chia nhiều nhất thành 6 tổ.
Như vậy, thông qua bài viết này các bạn đã biết ước số chung là gì, cách tìm ước chung như nào. Hy vọng rằng với những kiến thức và các phương pháp giải trên đây có thể giúp các bạn nắm vững kiến thức và làm tốt các bài tập dạng này.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
