Arcsin là gì? Định nghĩa, ví dụ về hàm arcsin

Arcsin là gì? Hàm arcsin có giống với hàm sin 1 không? Cùng chúng tôi tìm hiểu về định nghĩa và các ví dụ về hàm arcsin trong bài viết dưới đây.

Arcsin là gì?

Arcsin là một trong sáu hàm lượng giác nghịch đảo chính. Nó là hàm lượng giác nghịch đảo của hàm sin. Arcsin còn được gọi là sin nghịch đảo và được viết theo toán học là arcsin x hoặc sin -1 x (đọc là sin nghịch đảo x). Một điều quan trọng cần lưu ý là sin -1 x không giống với (sin x) -1 , nghĩa là sin -1 x không phải là hàm nghịch biến của sin x. Trong lượng giác nghịch đảo, chúng ta có sáu hàm lượng giác ngược – arccos, arcsin, arctan, arcsec, arccsc và arccot.

Arcsin x cho số đo của góc tương ứng với tỉ số giữa đường vuông góc và cạnh huyền của một tam giác vuông. Trong bài này, chúng ta sẽ tìm hiểu khái niệm arcsin và suy ra công thức của nó. Chúng ta cũng sẽ thảo luận về miền và phạm vi của arcsin x và do đó, vẽ biểu đồ của nó. Chúng tôi cũng sẽ giải quyết các ví dụ khác nhau bằng cách sử dụng danh tính của arcsin x để hiểu rõ hơn về các ứng dụng và khái niệm của nó.

Arcsin là hàm lượng giác nghịch đảo của hàm sin. Nó cung cấp số đo của góc cho giá trị tương ứng của hàm sin . Chúng ta ký hiệu hàm arcsin cho số thực x là arcsin x (đọc là arcsine x) hoặc sin -1 x (đọc là sin nghịch đảo x ) là nghịch đảo của sin y. Nếu sin y = x, thì chúng ta có thể viết nó dưới dạng y = arcsin x. Arcsin là một trong sáu hàm lượng giác nghịch đảo quan trọng . Sáu hàm lượng giác nghịch đảo là:

• Arcsin: Nghịch đảo của hàm sin, ký hiệu là arcsin x hoặc sin -1 x
• Arccos: Nghịch đảo của hàm cosin , ký hiệu là arccos x hoặc cos -1 x
• Arctan: Nghịch đảo của hàm tiếp tuyến , ký hiệu là arctan x hoặc tan -1 x
• Arccot: Nghịch đảo của hàm cotang , được biểu thị bằng arccot ​​x hoặc cot -1 x
• Arcsec: Nghịch đảo của hàm secant , được biểu thị bằng arcsec x hoặc sec -1 x
• Arccsc: Nghịch đảo của hàm cosecant, được ký hiệu bằng arccsc x hoặc csc -1 x

Hàm arcsin giúp chúng ta tìm số đo của một góc tương ứng với giá trị hàm sin. Hãy để chúng tôi xem một vài ví dụ để hiểu chức năng của nó. Chúng ta biết các giá trị của hàm sin đối với một số góc cụ thể bằng cách sử dụng bảng lượng giác .

• Nếu sin 0 = 0, thì arcsin 0 = 0
• sin π / 6 = 1/2 ngụ ý arcsin (1/2) = π / 6
• sin π / 3 = √3 / 2 ngụ ý arcsine (√3 / 2) = π / 3
• Nếu sin π / 2 = 1 thì arcsin (1) = π / 2

Arcsin công thức

Chúng ta có thể sử dụng công thức arcsin khi cho giá trị sin của một góc và chúng ta muốn đánh giá số đo chính xác của góc đó. Xét một tam giác vuông. Chúng ta biết rằng sin θ = Mặt đối diện / Giả thuyết. Vì arcsin là hàm ngược của hàm sin, do đó, chúng ta có θ = arcsin (Cạnh đối diện / Giả thiết). Do đó, công thức của arcsin x là:

θ = arcsin (cạnh đối diện / cạnh huyền)

Chúng ta cũng có thể sử dụng luật sin để suy ra công thức arcsin. Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, BC = a và AC = b, ta có sin A / a = sin B / b = sin C / c. Sau đó, dùng hai lần một lúc, chúng ta có:

sin A / a = sin B / b

⇒ sin A = (a / b) sin B

⇒ A = arcsin [(a/b) sin B]

Tương tự, chúng ta có thể tìm số đo của các góc B và C bằng cách sử dụng cùng một phương pháp.

Đồ thị của arcsin

Vẽ đồ thị của arcsin x bằng cách sử dụng một số điểm của nó. Như đã thảo luận về hoạt động của arcsin, chúng ta biết các giá trị của hàm sin đối với một số góc cụ thể và sử dụng các công thức lượng giác, chúng ta có:

• sin 0 = 0 ngụ ý arcsin 0 = 0 → (0, 0)
• sin π / 6 = 1/2 ngụ ý arcsin (1/2) = π / 6 → (1/2, π / 6)
• sin π / 3 = √3 / 2 ngụ ý arcsin (√3 / 2) = π / 3 → (√3 / 2, π / 3)
• sin π / 2 = 1 ngụ ý arcsin (1) = π / 2 → (1, π / 2)
• sin (-π / 4) = -1 / √2 ngụ ý arcsine (-1 / √2) = -π / 4 → (-1 / √2, -π / 4)
• sin (-π / 6) = -1/2 ngụ ý arcsine (-1/2) = -π / 6 → (-1/2, -π / 6)

Bảng arcsin

xarcsin (x)

(rad)

arcsin (x)

(°)

-1-p / 2-90°-√3/2-p / 3-60°-√2/2-p / 4-45°-1/2-p / 6-30°000°1/2p / 630°√2/2p / 445°√3/2p / 360°1p / 290°

Ví dụ về Arcsin là gì

Ví dụ 1: Chứng minh công thức arcsin 2 arcsin x = arcsin (2x √ (1 – x 2 )), nếu -1 / √2 ≤ x ≤ 1 / √2.

Giải: Giả sử arcsin x = y, khi đó ta có sin y = x. Xem xét RHS

RHS = arcsin (2x √ (1 – x 2 ))

= arcsin [2 sin y √(1 – sin2y)]

= arcsin [2 sin y √ (cos 2 y)] — [Sử dụng công thức lượng giác sin 2 A + cos 2 A = 1 hàm ý cos 2 A = 1 – sin 2 A]

= arcsin [2 sin y cos y]

= arcsin [sin2y] — [Using trigonometric formula sin2A = 2 sinA cosA]

= 2 năm

= 2 arcsin x — [Vì arcsin x = y]

Đáp số: Do đó, chúng ta đã chứng minh được 2 arcsin x = arcsin (2x √ (1 – x 2 )), nếu -1 / √2 ≤ x ≤ 1 / √2

Ví dụ 2: Tìm giá trị của arcsin (sin 3π / 5).

Giải: Ta biết rằng arcsin (sin x) = x nên ta có arcsin (sin 3π / 5) = 3π / 5 nhưng 3π / 5 ∉ [-π / 2, π / 2]. Vì vậy, ta cần tìm giá trị tương đương với sin 3π / 5 sao cho góc nằm trong khoảng [-π / 2, π / 2]. Sử dụng công thức lượng giác sin x = sin (π – x), ta có

sin (3π / 5) = sin (π – 3π / 5)

= sin (5π / 5 – 3π / 5)

= sin (2π / 5)

Ngoài ra, lưu ý rằng 2π / 5 ∈ [-π / 2, π / 2].

Vì vậy, chúng ta có arcsin (sin 3π / 5) = 2π / 5

Đáp số: arcsin (sin 3π / 5) = 2π / 5

Ví dụ 3: Chứng minh rằng arcsin (3/5) – arcsin (8/17) = arccos (84/85)

Giải: Giả sử A = arcsin (3/5) và B = arcsin (8/17), khi đó ta có sin A = 3/5 và sin B = 8/17. Sau đó, sử dụng công thức lượng giác, sin 2 x + cos 2 x = 1, ta có

cos A = √ (1 – sin 2 A)

= √ (1 – (3/5)2)

= √(1 – 9/25)

= √(16/25)

= 4/5

cos B = √ (1 – sin 2 B)

= √ (1 – (8/17)2)

= √(1 – 64/289)

= √(225/289)

=15/17

Bây giờ, sử dụng công thức cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

= 4/5 × 15/17 + 3/5 × 8/17

= 60/85 + 24/85

= 84/85

⇒ A – B = arccos (84/85)

⇒ arcsin (3/5) – arcsin (8/17) = arccos (84/85) — [A = arcsin (3/5) và B = arcsin (8/17)]

Đáp số: Do đó, chúng tôi đã chứng minh rằng arcsin (3/5) – arcsin (8/17) = arccos (84/85)

Arcsin Arccos là gì

Arccosine của x được định nghĩa là hàm cosine nghịch đảo của x khi -1≤x≤1.

Khi cosin của y bằng x:

cos y = x

Khi đó hàm arccosine của x bằng hàm cosine nghịch đảo của x, bằng y:

arccos x = cos -1 x = y

(Ở đây cos -1 x có nghĩa là cosin nghịch đảo và không có nghĩa là cosin theo lũy thừa của -1).

Ví dụ:

arccos 1 = cos -1 1 = 0 rad = 0°

Đồ thị arccos:

Trên đây là tổng hợp các thông tin cơ bản về arcsin là gì cùng các ví dụ về arcsin. Hy vọng rằng thông qua bài viết này các bạn sẽ hiểu hơn về định nghĩa và công thức, ví dụ của arcsin trong toán học.

Xem thêm: Định nghĩa, ví dụ về số thập phân hữu hạn là gì

Thắc mắc –

• Định nghĩa, ví dụ về số thập phân hữu hạn là gì

• Rickroll là gì? Tìm hiểu về trào lưu rickroll trên mạng xã hội

• Cope with là gì? Tìm hiểu ý nghĩa, cách sử dụng cope with

• Thể dị hợp là gì? Tìm hiểu về thể dị hợp trong sinh học

• Nhân giống vô tính là gì? Tìm hiểu về nhân giống vô tính

• Scrunchies là gì? Những sự thật thú vị về scrunchies

• Salesforce là gì? Tìm hiểu về nhân viên salesforce