Phương trình tổng quát của đường thẳng là nội dung quan trọng trong chương trình toán học lớp 10. Trong bài viết ngày hôm nay, Kiến Guru sẽ giới thiệu đến các bạn phần hệ thống lý thuyết đầy đủ, dễ nhớ nhất và gợi ý giải một số bài tập minh họa để bạn đọc có cái nhìn khách quan hơn về chủ đề này. Mời các bạn cùng theo dõi.
I. Tìm hiểu về phương trình tổng quát của đường thẳng
Chương trình Toán lớp 10 giúp bạn đọc có những tiếp cận đầu tiên với kiến thức Toán học THPT. Chính vì vậy, đây được xem như một chiếc bản lề, nền tảng cho những lớp học cao hơn sau này. Trong bài viết ngày hôm nay, Kiến Guru sẽ mang đến cho bạn những tiếp cận sơ lược nhất về định nghĩa phương trình tổng quát của đường thẳng là gì? Các bước xây dựng như thế nào… Mời các bạn cùng chúng mình khám phá về chủ đề thú vị này nhé!
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng d
Lý thuyết chung cần nhớ:
- Một vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của một đường thẳng khi và chỉ khi giá của vectơ đó vuông góc với đường thẳng cho trước.
- Một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
- Khi một phương trình có dạng tổng quát là: a(x- x0) + b(y- y0) = 0 thì phương trình đó được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng d.
2. Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng
Các yếu tố cần có nếu muốn xác định phương trình tổng quát của 1 đường thẳng là: Điểm thuộc đường thẳng A(x0;y0) và vecto pháp tuyến của đường thẳng đó.
Từ đó, ta rút ra được phương pháp viết phương trình tổng quát của đường thẳng d là như sau:
- Bước 1: Tìm và xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng d
- Bước 2: Từ đó, tìm một điểm bất kì A(x0;y0) thuộc đường thẳng này
- Bước 3: Thực hiện viết phương trình đường thẳng dựa vào các yếu tố cho trước: Khi đó phương trình tổng quát của d là:
a (x – x0) + b (y – y0) = 0
Lưu ý: Với đường thẳng d có phương trình tổng quát ax + by + c= 0 nếu đường thẳng d // ∆ thì đường thẳng ∆ có dạng: ax + by + c’ = 0 (c’ ≠ c) .
II. Bài tập về phương trình tổng quát của đường thẳng
Vừa rồi, Kiến Guru đã cùng bạn đọc tổng hợp các nội dung liên quan đến phương trình tổng quát của đường thẳng. Sau đây, các bạn hãy cùng tham khảo hướng dẫn giải chi tiết 1 số bài tập tham khảo để nắm được phương pháp làm bài và không bị lúng túng nếu gặp phải các yêu cầu của dạng bài này nhé!
Bài 3.1 trang 146 SBT Hình học 10
Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
- d đi qua điểm A(-5;-2) và có vectơ chỉ phương là (4;-3)
- Ta có:
Hướng dẫn giải chi tiết
- Ta xây dựng được phương trình đường thẳng đi qua A(-5;-2) và có vectơ chỉ phương là (4;-3)
2. Bài 3.2 trang 147 SBT Hình học 10
Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số
- Tìm điểm M nằm trên Δ và cách điểm A(0; 1) một khoảng bằng 5.
- Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng Δ với đường thẳng x + y + 1 = 0
- Tìm M trên Δ sao cho AM ngắn nhất.
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta thực hiện các bước làm bài như sau đối với bài tập này:
- Bước 1: Gọi tọa độ của điểm M theo tham số dựa vào phương trình đường thẳng Δ. Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm và tìm tham số.
- Bước 2: Gọi tọa độ của điểm M theo tham số dựa vào phương trình đường thẳng Δ. Thay vào phương trình d đã biết để tìm tham số và kết luận
- Bước 3: Đoạn AM ngắn nhất khi và chỉ khi vecto chỉ phương của AM và vectơ chỉ phương u vuông góc với nhau.
Từ đó, ta có đáp án chi tiết, đầy đủ nhất của bài tập này như sau:
- Gọi tọa độ của điểm M là M(2 + 2t; 3 + t) ∈ Δ; A(0;1)
Có: AM = 5 nên suy ra:
Câu b:
Gọi tọa độ của điểm M lần lượt là (2+2t; 3 + t) ∈ Δ
Vì M là điểm thuộc đường thẳng d nên ta có:
Vectơ chỉ phương AM là 2 + 2t; 2+ t
Vecto chỉ phương của đường thẳng Δ là (2;1)
Gọi H là hình chiếu của A lên Δ, khi đó AM ≥ AH nên AM sẽ ngắn nhất khi 2 đoạn thẳng này trùng nhau, hay điểm M trùng với điểm H.
Điều này chỉ xảy ra trong trường hợp vectơ chỉ phương AM vuông góc với vectơ chỉ phương u của đường thẳng delta.
Tương đương với: 2 (2+2t) + (2+t) = 0 ⇔ t = – 6/5
Kết luận: Như vậy, tọa độ của điểm M cần tìm là (-2/5;-9/5)
3. Bài 3.3 trang 147 SBT Hình học 10
Lập Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:
- Δ đi qua điểm M(1;1) và có vectơ pháp tuyến vectơ n = (3; -2);
- Δ đi qua điểm A(2;-1) và có hệ số góc k = -1/2;
- Δ đi qua hai điểm A(2;0) và B(0;-3).
Hướng dẫn giải chi tiết
Đây cũng là một dạng bài tập viết phương trình đường thẳng khi đã biết được 1 số yếu tố, điều kiện cho trước.
Ta có hướng dẫn giải chi tiết của bài tập này như sau:
- Vì Δ là đường thẳng đi qua điểm M(1;1) và vecto pháp tuyến là (3; -2) nên có phương trình đường thẳng như sau:
3 (x – 1) – 2 (y – 1) = 0 hay 3x – 2y -1 = 0.
- Δ đi qua điểm A(2;-1) và có hệ số góc k = -½ nên ta có phương trình như sau:
- Ta xác định được vectơ chỉ phương AB là (-2; -3) nên đường thẳng này sẽ nhận vectơ pháp tuyến tương ứng là (3; -2). Từ đó, ta viết được phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2;0) là:
3 (x- 2) – 2y = 0 hay ta có: 3x – 2y – 6 = 0.
4. Bài 3.4 trang 147 SBT Hình học 10
Lập phương trình ba đường trung trực của một tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là M(-1; 0), N(4; 1), P(2; 4).
Hướng dẫn giải chi tiết
Khái niệm về đường trung trực của đoạn thẳng là gì: Đường trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm đoạn thẳng và vuông góc đoạn thẳng ấy tại trung điểm.
Phương trình đường thẳng đi qua trung điểm M(x0; y0) và nhận vecto n (a; b) làm vectơ pháp tuyến có dạng như sau:
a (x – x0) + b (y – y0) = 0
Từ đó, ta có lời giải chi tiết cho bài tập này như sau:
Giả sử tam giác ABC có M, N, P là trung điểm các cạnh AB, AC, BC.
⇔ MN // BC, NP // AB và MP // AC.
Gọi ∆1, ∆2 và ∆3 lần lượt là các đường trung trực đi qua các điểm M, N, P.
Ta có:
5. Bài 3.5 trang 147 SBT Hình học 10
Cho M(1; 2). Hãy lập phương trình của đường thẳng đi qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng nhau.
Hướng dẫn giải chi tiết
Bài tập này xuất hiện một trường hợp đặc biệt: Phương trình đường thẳng là đoạn chắn đi qua 2 điểm A(a; 0) và B(0; b). Với a, b khác 0, phương trình này có dạng:
Từ đó, ta có gợi ý giải chi tiết của bài tập này như sau:
6. Bài 3.6 trang 147 SBT Hình học 10
Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB: x – 3y + 11 = 0, đường cao AH: 3x + 7y – 15 = 0, đường cao BH: 3x – 5y + 13 = 0. Tìm phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại của tam giác.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 3.6 trang 47 SBT Hình học 10:
Ta thực hiện các bước sau trong quá trình làm bài:
- Bước 1: Xác định tọa độ điểm A
- Bước 2: Từ đó, viết phương trình đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với BH
- Bước 3: Tìm tọa độ điểm C, từ đó rút ra kết luận về phương trình BC.
Từ đó, Kiến Guru chia sẻ đến bạn lời giải chi tiết, dễ hiểu nhất:
Theo đề ra, tọa độ của điểm A sẽ luôn thỏa mãn hệ phương trình:
Kết luận: Như vậy, phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC là:
7x – 3y – 13 = 0
7. Bài 3.7 trang 147 SBT Hình học 10
Cho tam giác ABC có A( -2; 3) và hai đường trung tuyến: 2x – y + 1 = 0 và
x + y – 4 = 0. Hãy viết phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.
Hướng dẫn giải chi tiết
Hai đường trung tuyến đã cho đều không phải là đường trung tuyến xuất phát từ A vì khi thay tọa độ A vào 2 phương trình đường thẳng đã cho không thỏa mãn các phương trình của chúng. Các bước giải của bài tập này là như sau:
- Bước 1: Gọi tọa độ của điểm B là (x;y). Tìm và xác định tọa độ của trung điểm N của đoạn thẳng AB.
- Bước 2: Ta tiến hành lập hệ phương trình với ẩn x, y từ đó giải hệ và rút ra kết luận về đáp số.
Từ đó, ta có đáp án đầy đủ nhất của bài tập này như sau:
Kết luận: Như vậy, phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là:
2x – 4y + 16 = 0 hay x – 2y +8 = 0
Phương trình chứa cạnh AC là: 2x + 5y – 11 = 0
Và phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là: 4x + y – 13 = 0.
III. Kết luận
Trong bài viết vừa rồi, Kiến Guru đã cùng bạn khám phá những điều cần lưu tâm trong chủ đề Phương trình tổng quát của đường thẳng. Hy vọng rằng thông qua tài liệu này, bạn đọc đã hiểu về phương trình đường thẳng là gì cũng như làm quen dần với các bước cần thực hiện khi gặp dạng bài này. Đây là chủ đề không quá phức tạp nhưng lại là nền tảng cho những lý thuyết, bài học sau này nên các bạn nên chủ động tự học và ôn luyện nhiều bài tập minh họa phân bổ theo cấp độ từ thấp đến cai để giải đúng, giải nhanh.
Bên cạnh đó, các bạn có thể tham khảo rất nhiều tài liệu bổ trợ cho quá trình tự học môn Toán lớp 10 THPT nhẹ nhàng hơn tại đây.
Chúc các bạn giành được thành tích cao và chinh phục được môn học này nhé!
