Trong các kiến thức toán học thì trọng tâm là một trong những khái niệm quan trọng nhất. Nó được ứng dụng phổ biến trong đời sống hàng ngày của con người. Hôm nay chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu rõ hơn về các khái niệm về trọng tâm và cách xác định trọng tâm một cách đơn giản và dễ hiểu nhất nha.
Trọng tâm là gì? Trọng tâm trong toán học là gì?
- Trọng tâm được hiểu là một vị trí ở giữa của một cái gì đó.
- Trong toán học trọng tâm là: giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác được xuất phát từ ba đỉnh của tam giác đó.
- Có rất nhiều định nghĩa về trọng tâm khác nhau trong nhiều lĩnh vực như là: trong tâm của tam giác,trọng tâm của tứ giác, trọng tâm của ngôi nhà, trọng tâm của con đường, trọng tâm của vấn đề, trọng tâm trong vật lý,…
Trọng tâm trong tam giác là gì?
Trong một tam giác kẻ ba đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện và điểm giao nhau của ba đường trung tuyến đó chính là trọng tâm của hình tam giác
Tính chất trọng tâm của các hình học
Trọng tâm của tam giác
Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
Tam giác ABC, với các đường trung tuyến AM, BN, CP và trọng tâm G, ta có:
- GA = 2/3 AM
- GB = 2/3 BN
- GC = 2/3 CP
Trọng tâm của tam giác cân
Tam giác ABC cân tại A, có G là trọng tâm.
Vì tam giác ABC cân tại A nên AG vừa là đường trung tuyến, đường cao và là đường phân giác, từ đó ta suy ra được hệ quả của trọng tâm tam giác cân ABC như sau:
- Góc BAD bằng góc CAD.
- Trung tuyến AD vuông góc với cạnh đáy BC.
Trọng tâm của tam giác đều
Tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác.
Vì vậy theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.
Trọng tâm của tam giác vuông
Trọng tâm của tam giác vuông cũng được xác định giống như trọng tâm của tam giác thường.
Tam giác MNP vuông tại M.
3 đường trung tuyến MD, NE, PF giao nhau tại trọng tâm O. Ta có MD là trung tuyến của góc vuông PMN nên MD = 1/2 PN = DP = DN.
Trọng tâm của tam giác vuông cân
Có tam giác ABC vuông cân tại A và I là trọng tâm. AM là đường trung trực, đường trung tuyến và đường cao của tam giác này nên AM vuông góc với BC.
Mặt khác, vì tam giác ABC vuông cân tại A nên:
AB = AC.
=> BP = CN và BN = AN = CP = AP.
Trọng tâm của tứ giác
Trọng tâm của tứ giác là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện.
Cho tứ giác ABCD có trọng tâm là G ta được :
Tổng vecto GA + GB + GC + GD =0
Nếu ta có tứ giác ABCD có trọng tâm là G và điểm I là trọng tâm của tam giác ABC
Tổng vecto GA + GB + GC + GD =0 (1) và IA + IB + IC = 0 (2)
=>Từ (1) và (2) => 3GI + GD = 0
Trọng tâm của tứ diện
Trọng tâm tứ diện là giao điểm của bốn đường thẳng nối từ đỉnh và trọng tâm của tam giác đối diện.
Từ hình ta thấy trọng tâm của tứ diện ABCD chính là điểm G
Cách tìm trọng tâm các hình học chuẩn nhất
Cách tìm trọng tâm hình tam giác
Trọng tâm của tam giác là khoảng cách từ trọng tâm đến ba đỉnh của tam giác đó.
Cách 1: Giao điểm 3 đường trung tuyến
Xác định trọng tâm tam giác bằng cách lấy giao điểm của ba đường trung tuyến.
Bước 1: Vẽ tam giác ABC, lần lượt xác định trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.
Bước 2: Nối lần lượt các đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Nối A với G, B với F, C với E.
Bước 3: Giao điểm I của ba đường trung tuyến là AG, BF, CE là trọng tâm của tam giác ABC.
Cách 2: Tỉ lệ trên đường trung tuyến
Xác định trọng tâm tam giác dựa trên tỉ lệ đường trung tuyến.
Bước 1: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm M của cạnh BC.
Bước 2: Nối đỉnh A với trung điểm M, sau đó lấy điểm S sao cho AS = 2/3 AM.
Theo tính chất trọng tâm tam giác thì điểm S chính là trọng tâm tam giác ABC.
Cách vẽ trọng tâm của tứ diện
Cách 1
Cho tứ diện ABCD. Khi đó, 3 đường thẳng nối trung điểm 3 cặp cạnh chéo nhau đồng quy tại trung điểm mỗi đường. Điểm đó chính là trọng tâm tứ diện ABCD
Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm AB,BC,CD,DA
Khi đó ta có : MQ,NP lần lượt là đường trung bình của ΔABD và ΔCBD
⇒ MQ//NP ( cùng //BD )
⇒ MQ=NP=BD/2
⇒ MNPQ là hình bình hành
⇒ MP∩NQ tại trung điểm mỗi đường
Tương tự chứng minh cặp cạnh chéo nhau còn lại.
Vậy chứng minh được trọng tâm của tứ diện
Cách 2
Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của ΔBCD. Trên đoạn AG lấy điểm K sao cho KA=3KG. Khi đó điểm K chính là trọng tâm tứ diện ABCD
Ta có:
Vì G là trọng tâm ΔBCD ⇒ GB + GC + GD = 0
KA + KB + KC + KD = KA + (KG + GB) + (KG + GC) + (KG + GD)
= KA + 3KG + (GB + GC + GD)
= KA + 3KG
Mặt khác, vì KA = 3KG ⇒ KA + 3KG = 0
Vậy K là trọng tâm tứ diện ABCD
Một số bài tập về trọng tâm
Bài 1 Tam giác ABC có trung tuyến AD = 9cm và trọng tâm I. Tính độ dài đoạn AI?
Bài 2: Cho I là trọng tâm của tam giác đều MNP. Chứng minh rằng: IM = IN = IP.
Bài 3: Cho G là trọng tâm của tứ diện vuông OABC ( vuông tại O ). Biết rằng OA=OB=OC=a. Tính độ dài OG
Bài giải
Bài 1:
Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC và AD là đường trung tuyến nên AI = (2/3) AD (theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác).
Do đó: AG = (2/3).9 = 6 (cm).
Vậy đọan AI có độ dài 6 cm.
Bài 2:
Gọi trung điểm MN, MP, PN lần lượt là R, O, S.
Khi đó MS, PR, NO đồng quy tại trọng tâm I.
Ta có ∆MNP đều, suy ra:
MS = PR = NO (1).
Vì I là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất đường trung tuyến:
MI = 2/3 MS, PI = 2/3 PR, NI = 2/3 NO (2).
=>Từ (1) , (2) ⇒ GA = GB = GC.
Bài 3:
Xem thêm:
- Tập hợp số là gì? Các tập hợp số cơ bản trong toán học
- R trong toán học là gì? Định nghĩa, tính chất và bài tập minh họa có giải
- Các tính tỉ số phần trăm và các dạng toán về tỉ số phần trăm cơ bản có đáp án
Như vậy, với những thông tin bổ ích trên. Các bạn đã hiểu hơn về khái niệm về trọng tâm là gì? Cũng như cách xác định trọng tâm? Chúc mọi người học tập thật tốt và áp dụng kiến thức chính xác trong quá trình học tập của mình.
