1. Các ký hiệu toán học cơ bản
Các ký hiệu trong toán học cơ bản giúp con người làm việc một cách lý thuyết với các khái niệm toán học. Chúng ta không thể làm toán nếu không có các ký hiệu. Các dấu hiệu và ký hiệu toán học chính là đại diện của giá trị. Những suy nghĩ toán học được thể hiện bằng cách sử dụng các ký hiệu. Nhờ trợ giúp của các ký hiệu, một số khái niệm và ý tưởng toán học nhất định được giải thích rõ ràng hơn. Dưới đây là danh sách các ký hiệu toán học cơ bản thường được sử dụng.
Ký hiệu Tên ký hiệu Ý nghĩa Ví dụ = dấu bằng bình đẳng 3 = 1 + 2 3 bằng 1 + 2 ≠ không dấu bằng bất bình đẳng 3 ≠ 4 3 không bằng 4 ≈ khoảng chừng bằng nhau xấp xỉ sin (0,01) ≈ 0,01, a ≈ b nghĩa là a xấp xỉ bằng bb
/
bất bình đẳng nghiêm ngặt lớn hơn 4/ 3 lớn hơn 3 < bất bình đẳng nghiêm ngặt nhỏ hơn 3 < 4 3 nhỏ hơn 4 ≥ bất bình đẳng lớn hơn hoặc bằng 4 ≥ 3, a ≥ b là kí hiệu cho a lớn hơn hoặc bằng b ≤ bất bình đẳng nhỏ hơn hoặc bằng 3 ≤ 4, a ≤ b nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b ()
dấu ngoặc đơn
tính biểu thức bên trong đầu tiên 2 × (4 + 6) = 20 []
dấu ngoặc
tính biểu thức bên trong đầu tiên [(8 + 2) × (1 + 1)] = 20 + dấu cộng thêm vào 1 + 3 = 4 – dấu trừ
phép trừ
4 – 1 = 3 ± cộng – trừ cả phép cộng và trừ 3 ± 1 = 1 hoặc 2 ± trừ – cộng cả phép trừ và cộng 3 ∓ 2 = 1 hoặc 5 * dấu hoa thị phép nhân 2 * 5 = 10 × dấu thời gian phép nhân 2 × 4 = 8 . dấu chấm chân phép nhân 3 ⋅ 4 = 12 ÷ dấu hiệu phân chia sự phân chia 4 ÷ 2 = 2 /
dấu gạch chéo
sự phân chia 4/2 = 2 – đường chân trời chia / phân số $frac{6}{3}$ = 2 mod modulo tính toán phần còn dư 9 mod 2 = 1 . giai đoạn = Stage dấu thập phân 3,56 = 3 + 56/100 $a^{b}$ quyền lực số mũ $3^{3}$ = 9 a ^ b dấu mũ số mũ 3 ^ 3 = 9 √ a căn bậc hai √ a ⋅ √ a = a √ 4 = ± 2 $sqrt[3]{a}$ gốc hình khối $sqrt[3]{f}$ ⋅ $sqrt[3]{f}$ ⋅ $sqrt[3]{f}$ = f $sqrt[3]{27}$ = 3 $sqrt[4]{a}$ gốc thứ tư $sqrt[4]{g}$ ⋅ $sqrt[4]{g}$ ⋅ $sqrt[4]{g}$ ⋅ $sqrt[4]{g}$ = g
$sqrt[4]{81}$ = ± 3
$sqrt[n]{a}$ gốc thứ n (gốc) với n = 3, $sqrt[n]{27} = 3$ % phần trăm 1% = 1/100 10% × 20 = 2 ‰ phần nghìn 1 ‰ = 1/1000 = 0,1% 10 ‰ × 20 = 0,2 ppm mỗi triệu 1ppm = 1/1000000 10ppm × 20 = 0,0002 ppb mỗi tỷ 1ppb = 1/1000000000 10ppb × 20 = 2 × $10^{-7}$ ppt mỗi nghìn tỷ 1ppt = $10^{-12}$ 10ppt × 20 = 2 × $10^{-10}$
2. Các ký hiệu số trong toán học
Tên Tây Ả Rập Roman Đông Ả Rập Do Thái không 0 ٠ một 1 I ١ א hai 2 II ٢ ב ba 3 III ٣ ג bốn 4 IV ٤ ד năm 5 V ٥ ה sáu 6 VI ٦ ו bảy 7 VII ٧ ז tám 8 VIII ٨ ח chín 9 IX ٩ ט mười 10 X ١٠ י mười một 11 XI ١١ יא mười hai 12 XII ١٢ יב mười ba 13 XIII ١٣ יג mười bốn 14 XIV ١٤ יד mười lăm 15 XV ١٥ טו mười sáu 16 XVI ١٦ טז mười bảy 17 XVII ١٧ יז mười tám 18 XVIII ١٨ יח mười chín 19 XIX ١٩ יט hai mươi 20 XX ٢٠ כ ba mươi 30 XXX ٣٠ ל bốn mươi 40 XL ٤٠ מ năm mươi 50 L ٥٠ נ sáu mươi 60 LX ٦٠ ס bảy mươi 70 LXX ٧٠ ע tám mươi 80 LXXX ٨٠ פ chín mươi 90 XC ٩٠ צ một trăm 100 C ١٠٠ ק
3. Ký hiệu đại số
Ký hiệu Tên ký hiệu Ý nghĩa Ví dụ x biến x giá trị không xác định cần tìm 3x = 6 thì x = 2
≡
tương đương giống hệt ≜ bằng nhau theo định nghĩa bằng nhau theo định nghĩa : = bằng nhau theo định nghĩa bằng nhau theo định nghĩa ~ khoảng chừng bằng nhau xấp xỉ yếu 2,5 ~ 33 ≈ khoảng chừng bằng nhau xấp xỉ sin (0,01) ≈ 0,01 ∝ tỷ lệ với tỷ lệ với b ∝ a khi b = ka, k hằng số ∞ vô cực vô cực ≪ ít hơn rất nhiều so với ít hơn rất nhiều so với 1 ≪ 1000000000 ≫ lớn hơn nhiều lớn hơn nhiều 1000000000 ≫ 1 () dấu ngoặc đơn tính toán biểu thức phía trong trước tiên 2 * (4 + 5) = 18 [] dấu ngoặc tính toán biểu thức phía trong trước tiên [(1 + 0,5) * (1 + 3)] = 6 {} dấu ngoặc nhọn thiết lập ⌊ x ⌋ làm tròn số trong ngoặc thành số nguyên thấp hơn làm tròn số trong ngoặc thành số nguyên thấp hơn ⌊4,3⌋ = 4 ⌈ x ⌉ làm tròn số trong ngoặc thành số nguyên lớn hơn làm tròn số trong ngoặc thành số nguyên lớn hơn ⌈4,3⌉ = 5 x ! giai thừa giai thừa 4! = 1.2.3.4 | x | giá trị tuyệt đối giá trị tuyệt đối | -3 | = 3 f ( x ) hàm của x các giá trị của x ánh xạ thành f (x) f ( x ) = 2 x +4 ( f ∘ g ) thành phần chức năng ( h ∘ i ) ( x ) = h ( i ( x )) h ( x ) = 5 x , i ( x ) = x -3 ⇒ ( h ∘ i ) ( x ) = 5 ( x -3) ( a , b ) khoảng thời gian mở ( a , b ) = { y | a < y < b } c ∈ (3,7) [ a , b ] khoảng thời gian đóng [ a , b ] = { j | a ≤ j ≤ b } j ∈ [3,7] ∆ thay đổi / khác biệt thay đổi / khác biệt ∆ t = $t_{x+1}$ – $t_{x}$ ∆ Δ = $b^{2}$ – 4 ac ∑ sigma tổng – tổng của toàn bộ các giá trị trong phạm vi của chuỗi
∑ $x_{i}$ = $x_{1}$ + $x_{2}$ + … + $x_{n-1}$ + $x_{n}$
∑∑ sigma
tổng kép
$sum_{j=1}^{3}$ $sum_{i=1}^{9}$ $x_{i,j}$ = $sum_{i=1}^{9}$ $x_{i,1}$ + $sum_{i=1}^{8}$ $x_{i,3}$ ∏ số pi vốn sản phẩm – sản phẩm của toàn bộ các giá trị trong phạm vi ∏ $x_{i}$ = $x_{1}$ ∙ $x_{2}$ ∙ … ∙ $x_{n-1}$ ∙ $x_{n}$ e hằng số/ số Euler e = 2,718281 … e = lim $(1 + 1 / x)^{x}$ , trong đó x → ∞ γ hằng số γ = 0,5772156649 … φ Tỉ lệ vàng tỷ lệ không đổi π hằng số pi π = 3,1415926 … là tỷ số giữa chu vi hình tròn và đường kính của hình tròn đó d⋅π = 2⋅ π ⋅ r =c
4. Các ký hiệu xác suất và thống kê
Ký hiệu Tên ký hiệu Ý nghĩa Ví dụ P ( A ) hàm xác suất xác suất của một sự kiện A P ( A ) = 0,3 P ( A ⋂ B ) xác suất các sự kiện giao nhau
xác suất của các sự kiện A và sự kiện B
P ( A ⋃ B )
xác suất kết hợp xác suất của các sự kiện A hoặc sự kiện B P ( A | B ) hàm xác suất có điều kiện xác suất của sự kiện A cho trước sự kiện đã xảy ra B f ( x )
hàm mật độ xác suất (pdf)
Q ( a ≤ x ≤ b ) = ∫ f ( x ) dx f ( x ) = 2x+3 F ( x ) hàm phân phối (cdf) μ dân số trung bình
giá trị dân số trung bình
μ = 12 E ( X ) kỳ vọng giá trị kỳ vọng của X (X là biến ngẫu nhiên) E ( X ) = 10
E ( X | Y )
giá trị kỳ vọng có điều kiện giá trị kỳ vọng của X cho trước Y E ( X | Y = 33 ) = 90 var ( X ) phương sai phương sai của biến ngẫu nhiên X var ( X ) = 3 $sigma ^{2}$ phương sai phương sai của các giá trị $sigma ^{2}$ = 9 std ( X ) độ lệch chuẩn giá trị độ lệch chuẩn của X (X là biến ngẫu nhiên) std ( X ) = 3 $sigma _{X}$ độ lệch chuẩn độ lệch chuẩn của biến X ngẫu nhiên $sigma _{x}$ = 4 trung bình giá trị trung bình của biến X (ngẫu nhiên) = 5 cov ( X , Y ) hiệp phương sai giá trị hiệp phương sai của các biến ngẫu nhiên X và Y cov ( X, Y ) = 6 corr ( X , Y ) tương quan sự tương quan của các biến ngẫu nhiên X và Y corr ( X, Y ) = 0,7 $rho _{X,Y}$ tương quan sự tương quan của các biến ngẫu nhiên X và Y $rho _{X,Y}$ = 0,8 ∑
tổng
tổng của toàn bộ các giá trị trong phạm vi của chuỗi $sum_{i=1}^{3} x_{i} = x_{1} + x_{2} + x_{3}$ ∑∑
tổng kép
tổng kết kép $sum_{j=1}^{3} sum_{i=1}^{9} x_{i,j} = sum_{i=1}^{9} x_{i,1} + sum_{i=1}^{8} x_{i,3}$ Mo mốt giá trị xuất hiện thường xuyên nhất MR tầm trung MR = ( $x_{1} + x_{2}$ ) / 2 trong đó $x_{1}$là max, $x_{2}$ là min Md trung bình mẫu $Q_{1}$ phần tư đầu tiên $Q_{2}$ phần tư thứ hai / trung vị $Q_{3}$ phần tư thứ ba / phần tư trên x
trung bình mẫu
giá trị trung bình
$s^{2}$
giá trị phương sai mẫu phương sai mẫu $s^{2}$ = 8 s độ lệch chuẩn mẫu độ lệch chuẩn s = 2 $z_{x}$ giá trị điểm chuẩn $z_{a} = (a – bar{a}) / s_{a}$ X ~ phân phối phân phối của biến ngẫu nhiên X X ~ N (0,2) N ( μ , $sigma ^{2}$ ) phân phối bình thường phân phối gaussian X ~ N (0,2) Ư ( a , b ) phân bố đồng đều xác suất bằng nhau trong phạm vi x, y X ~ U (0,2) exp (λ) phân phối theo cấp số nhân f ( y ) = $lambda e^{-lambda y}$ , trong đó y ≥0 gamma ( c , λ) phân phối gamma f ( x ) = $lambda$ $cx^{c-1} e^{-lambda x} /$ Γ ( c ) với x ≥0 χ 2 ( h ) phân phối chi bình phương f ( x ) = $x^{h/2-1} e^{-x/2} / (2^{h/2} Gamma (h/2))$ F ( k 1 , k 2 ) phân phối F Bin ( n , p ) phân phối nhị thức
f ( k ) =${(1-p)^{nk}}_{n}C_{k} p^{k}$
Poisson (λ) phân phối Poisson f ( k ) = $(lambda ^{k}e^{-lambda }) / k!$ Geom ( p ) phân bố hình học Bern ( p ) Phân phối Bernoulli
5. Ký hiệu giải tích và phân tích
Ký hiệu Tên ký hiệu Ý nghĩa Ví dụ lim giới hạn giới hạn của một hàm $lim_{xrightarrow x_{0}} f(x) = 1 $ ε epsilon số rất nhỏ, gần bằng không ε → 0 e hằng số
e = 2,7182818 …
e = $lim_{}(1+1/x)^{x}$ , trong đó x → ∞ y ‘ đạo hàm đạo hàm – Lagrange ($x^{9}$) ‘= 9 $x^{8}$ y ” đạo hàm thứ hai đạo hàm của đạo hàm 72 $x^{7}$ = ( $x^{9}$) ”
$y^{n}$
đạo hàm thứ n n lần đạo hàm 32 = (4 $x^{3}$ )$^{(3)}$ $frac{dy}{dx}$ dẫn xuất dẫn xuất – ký hiệu Leibniz d (4 $x^{3}$ ) / dx = 16 $x^{2}$ $frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ dẫn xuất thứ hai đạo hàm của đạo hàm $d^{2}$ (4 $x^{3}$ ) / d$x^{2}$ = 32 x $frac{d^{n}y}{dx^{n}}$ dẫn xuất thứ n n lần dẫn xuất đạo hàm thời gian ( ký hiệu Newton ) đạo hàm theo thời gian đạo hàm thời gian thứ hai đạo hàm của đạo hàm $D_{x}y$ dẫn xuất dẫn xuất – ký hiệu Euler ${D_{x}}^{2}y$ Dẫn xuất thứ hai đạo hàm của đạo hàm đạo hàm riêng $partial (a^{2} + b^{2})/partial a= 2a$ ∫ Tích phân đối lập với dẫn xuất ∫ f (x) dx = 1 ∫∫ tích phân kép ∫∫ f (x, y) dxdy ∫∫∫ tích phân ba ∫∫∫ f (x, y, z) dxdydz ∮ tích phân đường ∯ tích phân bề mặt đóng ∰ tích phân khối lượng đóng [ a , b ]
khoảng thời gian đóng
[ y , z ] = { k | y ≤ k ≤ z } ( a , b ) khoảng thời gian mở
( i , j ) = {w | i< w < j }
i đơn vị tưởng tượng i ≡ √ -1 z = 2,5 + 2 i z* liên hợp phức z = a + ci → z * = a – ci z * = 2,5 – 2 i Re ( z ) phần thực của một số phức z = a + ci → Re ( z ) = a Re (2,5- 2 i ) = 2,5 Im ( z ) phần ảo của một số phức z = a + qi → Im ( z ) = q Im (3,5 – 3i ) = – 3 | z | giá trị tuyệt đối | z | = | a + li | = √ $(a^{2} + l^{2})$ arg ( z ) đối số của một số phức chính là góc của bán kính (trong mặt phẳng phức) ∇ nabla / del toán tử gradient / phân kỳ vector đơn vị véc tơ x * y tích chập y ( j ) = x ( j ) * h ( j ) biến đổi laplace
F ( y ) = { f ( o )}
biến đổi Fourier X (ω) = { f ( p)} δ hàm delta ∞ vô cực vô cực
>> Xem thêm: Lý thuyết số phức và cách giải các dạng bài tập cơ bản
6. Các ký hiệu trong toán hình học
Ký hiệu Tên ký hiệu Ý nghĩa Ví dụ ∠ góc tạo bởi hai tia ∠ABC = 60 °
góc đo được
ABC = 50 ° góc hình cầu AOB = 40 ° ∟ góc vuông bằng 90 ° α = 90 ° ° độ 1 vòng = 360 ° α = 60 ° deg độ 1 vòng = 360deg α = 60deg ‘ nguyên tố arcminute, 1 ° = 60 ‘ α = 60 ° 59 ′ ”
số nguyên tố kép
arcsecond, 1 ′ = 60 ″ α = 60 ° 59′59 ″ hàng dòng vô tận AB đoạn thẳng từ điểm A đến điểm B tia bắt đầu từ điểm A cung cung từ điểm A đến điểm B = 30 ° ⊥ vuông góc đường vuông góc (tạo góc 90 °) AC ⊥ AD ∥ song song, tương đồng song song AB ∥ DE ~ đồng dạng hình dạng giống nhau, có thể không cùng kích thước ∆ABC ~ ∆XYZ Δ hình tam giác Hình tam giác ΔABC≅ ΔBCD | x – y | khoảng cách khoảng cách giữa điểm x & điểm y | x – y | = 5 π số pi π = 3,1415926 … π ⋅ d = 2. r.π = c rad radian đơn vị góc radian 360 ° = 2π rad c radian đơn vị góc radian 360 ° = 2π c grad gons cấp đơn vị đo góc 360 ° = 400 grad g gons cấp đơn vị đo góc 360 ° = 400g
>> Xem thêm bài viết: Tổng hợp công thức toán hình 12 đầy đủ dễ nhớ nhất
7. Biểu tượng Hy Lạp
Chữ viết hoa Chữ cái thường Tên chữ cái Hy Lạp Tiếng Anh tương đương Tên chữ cái Phát âm A α Alpha a al-fa B β Beta b be-ta Γ γ Gamma g ga-ma Δ δ Delta d del-ta E ε Epsilon đ ep-si-lon Z ζ Zeta z ze-ta H η Eta h eh-ta Θ θ Theta th te-ta I ι Lota tôi io-ta K κ Kappa k ka-pa Λ λ Lambda l lam-da M μ Mu m m-yoo N ν Nu n noo Ξ ξ Xi x x-ee O o Omicron o o-mee-c-ron Π π Pi p pa-yee Ρ ρ Rho r hàng Σ σ Sigma s sig-ma Τ τ Tau t ta-oo Υ υ Upsilon u oo-psi-lon Φ φ Phi ph học phí Χ χ Chi ch
kh-ee
Ψ ψ Psi ps p-see Ω ω Omega o o-me-ga
8. Số La Mã
Số Số la mã 0 1 I 2 II 3 III 4 IV 5 V 6 VI 7 VII 8 VIII 9 IX 10 X 11 XI 12 XII 13 XIII 14 XIV 15 XV 16 XVI 17 XVII 18 XVIII 19 XIX 20 XX 30 XXX 40 XL 50 L 60 LX 70 LXX 80 LXXX 90 XC 100 C 200 CC 300 CCC 400 CD 500 D 600
DC
700 DCC 800 DCCC 900 CM 1000 M 5000 V 10000 X 50000 L 100000 C 500000 D 1000000 M
9. Biểu tượng logic
Ký hiệu Tên ký hiệu Ý nghĩa Ví dụ ⋅ và và x . y ^ dấu mũ / dấu mũ và x ^ y & dấu và và
x & y
+ thêm hoặc x + y ∨ dấu mũ đảo ngược hoặc x ∨ y | đường thẳng đứng hoặc x | y x ‘ trích dẫn duy nhất không – phủ định x ‘ $bar{x}$ quầy bar không – phủ định $bar{x} $ ¬ không không – phủ định ¬ x ! dấu chấm than không – phủ định ! x ⊕ khoanh tròn dấu cộng / oplus độc quyền hoặc – xor x ⊕ y ~ dấu ngã phủ định ~ x ⇒ ngụ ý ⇔ tương đương khi và chỉ khi (iff) ↔ tương đương khi và chỉ khi (iff) ∀ cho tất cả ∃ có tồn tại ∄ không tồn tại ∴ vì thế ∵ bởi vì / kể từ
10. Đặt ký hiệu lý thuyết
Ký hiệu Tên ký hiệu Ý nghĩa Ví dụ {} thiết lập tập hợp các yếu tố A = {3,5,9,11}, B = {6,9,4,8} A ∩ B giao các phần tử đồng thời thuộc hai tập hợp A và B A ∩ B = {9} A ∪ B hợp các đối tượng thuộc tập A hoặc tập B A ∪ B = {3,5,9,11,6,4,8} A ⊆ B tập hợp con A là tập con của B. Tập A được đưa vào tập B. {9,14} ⊆ {9,14} A ⊂ B tập hợp con nghiêm ngặt Tập hợp A là một tập con của tập hợp B, nhưng A không bằng B. {9,14} ⊂ {9,14,29}
A ⊄ B
không phải tập hợp con
Một tập tập hợp không là tập con của tập còn lại
{9,66} ⊄ {9,14,29} A ⊇ B tập hợp A là một siêu tập hợp của tập hợp B và tập hợp A bao gồm tập hợp B {9,14,28} ⊇ {9,14,28} A ⊃ B A là một tập siêu của B, tuy nhiên tập B không bằng tập A. {9,14,28} ⊃ {9,14} $2^{A}$ bộ nguồn tất cả các tập con của A bộ nguồn tất cả các tập con của A A = B bình đẳng Tất cả các phần tử giống nhau A = {3,9,14}, B = {3,9,14}, A = B $A^{c}$ bổ sung tất cả các đối tượng đều không thuộc tập hợp A A B bổ sung tương đối đối tượng thuộc về tập A tuy nhiên không thuộc về B A = {3,9,14}, B = {1,2,3}, A B = {9,14} A – B bổ sung tương đối đối tượng thuộc về tập A và không thuộc về tập B A = {3,9,14}, B = {1,2,3}, AB = {9,14} A ∆ B sự khác biệt đối xứng
các đối tượng thuộc A hoặc B nhưng không tập giao của chúng
A = {3,9,14}, B = {1,2,3}, A ∆ B = {1,2,9,14} A ⊖ B sự khác biệt đối xứng các đối tượng thuộc A hoặc B nhưng không thuộc hợp của chúng A = {3,9,14}, B = {1,2,3}, A ⊖ B = {1,2,9,14} a ∈ A phần tử của, thuộc về A = {3,9,14}, 3 ∈ A x ∉ A không phải phần tử của A = {3,9,14}, 1 ∉ A ( a , b ) cặp bộ sưu tập của 2 yếu tố A × B tập hợp tất cả các cặp có thể được sắp xếp từ A và B | A | bản chất số phần tử của tập A #A bản chất số phần tử của tập A A = {3,9,14}, # A = 3 | thanh dọc như vậy mà A = {x | 3 <x <14} aleph-null bộ số tự nhiên vô hạn aleph-one số lượng số thứ tự đếm được Ø bộ trống Ø = {} C = {Ø} bộ phổ quát tập hợp tất cả các giá trị có thể $mathbb{N}_{0}$ bộ số tự nhiên / số nguyên (với số 0) $mathbb{N}_{0}$ = {0,1,2,3,4, …} 0 ∈ $mathbb{N}_{0}$ $mathbb{N}_{1}$ bộ số tự nhiên / số nguyên (không có số 0) $mathbb{N}_{1}$ = {1,2,3,4,5, …} 6 ∈ $mathbb{N}_{1}$ bộ số nguyên = {…- 3, -2, -1,0,1,2,3, …} -6 ∈ bộ số hữu tỉ = { x | x = a / b , a , b ∈ } 2/6 ∈ bộ số thực = { x | -∞ < x <∞} 6.343434 ∈ bộ số phức = { z | z = a + bi , -∞ < a <∞, -∞ < b <∞} 6 + 2 i ∈
Trên đây là tổng hợp các ký hiệu trong toán học đầy đủ và chi tiết nhất. Hy vọng rằng các em có thể làm quen hoàn toàn với các ký hiệu để giải toán một cách hiệu quả. Hãy truy cập vào Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để ôn tập kiến thức Toán 12 các kiến thức liên quan đến môn toán nhé!
>> Xem thêm bài viết:
- Tổng hợp công thức Toán 12 ôn thi THPT Quốc gia
- Tổng ôn tập số phức – full lý thuyết và bài tập
- 10 cách học giỏi toán nhanh nhất cho học sinh
- 8 cách học toán 12 bứt phá đạt điểm 8+ cho người mất gốc
